CLRS第十二章思考题

思考题12-1

a) 由于与 x 相同关键字的结点 y 会插入到 x 的右边，所以当所有关键字都相同的时候，会形成一条单链表，此时的渐进性能是 O(n2)；

b) 对于交替插入，渐进性能是 O(nlgn)；

c) 渐进性能 O(n)；

d) 最坏情况下就是形成单链表，因此是 O(n2)，平均情况是 O(nlgn)。

思考题12-2

先对集合 S 插入到基数树中，然后先序遍历即可对 S 实现按字典排序。
正确性：
1) 任何一个结点都是它子孙结点的前缀，由规则 2 知先序遍历是正确的；
2) 一个结点的左子孙在其右子孙之前是因为，左子孙、右子孙和父结点相同的序列之后的下一个字符，左孩子是 0 而右孩子是 1，由规则 1 知是正确的。

时间复杂度：
1) 每个字符串插入所需时间与它的长度成比例，总是字符长度是 n；
2) 先序遍历时间复杂度是 O(n)。

思考题12-3

a) 由于定义就是 P(T)=∑x∈Td(x,T)，然后除以总结点数 n 就是平均深度；

b) 对于左子树中的任意结点 x，我们有 d(x,TL)=d(x,T)−1，同样，对右子树有 d(x,TR)=d(x,T)−1，这样对于一个有 n 个结点的树 T 可得：

P(T)=P(TL)+P(TR)+n−1

c) 现在随机构建一个二叉搜索树，先从 n 个元素中随机选一个插入到树中变为根结点，然后剩下的 n−1 个结点就会变成根结点的左或右子树，类似于 b) 我们得到：

P(n)=1n∑i=0n−1(P(i)+P(n−i−1)+n−1)

d)

P(n)=1n∑i=0n−1(P(i)+P(n−i−1)+n−1)=1n∑i=0n−1(P(i)+P(n−i−1))+1n∑i=0n−1(n−1)=1n∑i=0n−1P(i)+1n∑j=0n−1P(j)+n−1=2n∑k=0n−1P(k)+Θ(n)

e) 用替换法来证明，首先猜测 P(n)≤anlgn+b。

P(n)=2n∑k=1n−1P(k)+Θ(n)≤2n∑k=1n−1(aklgk+b)+Θ(n)=2an∑k=1n−1klgk+2bn(n−1)+Θ(n)

下面证明 ∑k=1n−1klgk≤12n2lgn−18n2。

∑k=1n−1klgk=∑k=1⌈2n⌉−1klgk+∑k=⌈2n⌉n−1klgk≤∑k=1⌈2n⌉−1klgn2+∑k=⌈2n⌉n−1klgn=∑k=1⌈2n⌉−1klg(n−1)+∑k=⌈2n⌉n−1klgn=lgn∑k=1n−1k−∑k=1⌈2n⌉−1k≤lgnn(n−1)2−(n/2−1)n22≤12n2lgn−18n2当n≥2

利用上式得：

P(n)≤2an(12n2lgn−18n2)+2bn(n−1)+Θ(n)≤anlgn−a4n+2b+Θ(n)=anlgn+b+(Θ(n)+b−a4n)≤anlgn+b

f) 注意到一旦一个元素 x 被作为一颗树的根，其他的元素都要和 x 比较然后插入到树中。对于快排，一旦选定了主元，其他元素都要和主元进行比较。所以二叉搜索树中的非叶结点都对应着快排中的主元。

思考题12-4

此题略。