CLRS第十三章思考题

思考题13-1

a) 对于插入操作，需要更改根结点到插入的新叶结点路径上的所有结点；对于删除操作，至多改变被删除的节点和其后继的祖先结点。

b) 先假设会调用两个子程序MAKE-NEW-NODE(k)、COPY-NODE(x)。其中MAKE-NEW-NODE(k)创建一个关键字为 k 的结点，该结点的左右孩子为空，然后返回一个指向这个结点的指针。COPY-NODE(x)创建一个和结点 x 所指的结点有相同属性的结点（即有相同 key,left,right）并返回创建的指向这个结点的指针。

PERSISTENT-TREE-INSERT(r, k)    if r == NIL        x = MAKE-NEW-NODE(k)    else x = COPY-NODE(r)        if k < r.key            x.left = PERSISTENT-TREE-INSERT(r.left, k)        else x.right = PERSISTENT-TREE-INSERT(r.right, k)    return x

初始调用需要将T.root作为第一个参数。

c) 时间复杂度、空间复杂度都为 O(h)。

d) 若有 parent 属性，在插入时，所有结点都要被拷贝一次。因为根结点的孩子结点要指向新的根结点，它们的孩子结点又要指向它们，等等。。。由于有 n 个结点，所以需要花费 Ω(n)。

e) 从 a) 和 c) 我们知道，插入到一颗高为 h 的持久二叉搜索树需要 O(h)，对一颗高为 h=O(lgn) 的红黑树，插入需要 O(lgn) 时间，所以我们需要证明的是如果一颗红黑树是持久的，插入操作可以在 O(lgn) 时间完成。需要证明两个地方：
1) 怎么在没有 parent 的情况下在 O(1) 时间内找到指向父结点的指针。
2) 在红黑树的旋转和着色过程中，需要改变的结点所做的改变不会超过 O(lgn) 。
对于1)，我们除了使用和红黑树差不多的RB-INSERT函数外，还需要一个栈来保存从根结点到插入结点位置所经过的结点，然后将栈传给RB-INSERT-FIXUP，这样就可以在O(1) 时间内找到指向父结点的指针；
对于2)，证明略。
同样的也可以相似的证明删除持久的红黑树最坏只要 O(h) 时间。

思考题13-2

暂略

思考题13-3

暂略

思考题13-4

暂略