CLRS 15.3动态规划原理

15.3-1
运行RECURSIVE-MATRIX-CHAIN更高效一点。
第15.2节指出枚举所有可能的括号化方案是 Ω(4n/n3/2)。下面证明RECURSIVE-MATRIX-CHAIN是 O(n3n−1)。
书中的本节证明了：

T(n)=O(1)+∑k=1n−1(T(k)+T(n−k)+O(1))

我们证明存在 c 使得

T(n)≤c+∑k=1n−1(T(k)+T(n−k)+c)=2∑i=1n−1T(i)+cn

使用替换法证明 T(n)=O(n3n−1)。
T(1)=1≤c，对 n≥2有：

T(n)≤2∑i=1n−1T(i)+cn≤2∑i=1n−1ci3i−1+cn≤c⋅(2∑i=1n−1i3i−1+n)=c⋅(2⋅(n3n−13−1+1−3n(3−1)2)+n)=cn3n−1+c⋅(1−3n2+n)=cn3n−1+c2(2n+1−3n)≤cn3n−1

所以RECURSIVE-MATRIX-CHAIN更高效。
注释：

f(x)=∑i=1n−1xi,对f(x)求导得到：∑i=1n−1ixi−1=nxn−1x−1+1−xn(x−1)2

15.3-2
递归树略，无效的原因是没有重叠子问题。

15.3-3
具有最优子结构性质。假设 Aij 是最优解，一定存在一个 k 使 Aik,Ak+1,j 都是最大化。用剪切-粘贴方法可以证明。

15.3-4
举例为 p0=100,p1=100,p2=5,p3=10,p4=1 分别表示 A1,A2,A3,A4
按教授的意思选择 k=2 有 (A1A2)(A3A4)，总共 p0⋅p1⋅p2+p2⋅p3⋅p4+p0⋅p2⋅p4=51000
实际存在 A1((A2A3)A4)，总共 p0⋅p1⋅p4+p1⋅p2⋅p3+p1⋅p2⋅p4=15500

15.3-5
给出一个长度为 4 的价格和限制表。

Length i1234price Pi15203336limit li2111

若没有限制表，长度为 4 的切割方案是 4 个长度为 1 的总价是 60。
现在只能选择长度分别是 1,1,2 总价是 50 的切割方案，原因是在长度为 2 的子问题寻找最优解时不能继续切割成长度为 1,1 的方案。

15.3-6
首先假设在一次兑换中不能重复兑换某一种货币，比如兑换序列为 i→j→i→j...。这个假设的原因是若 rij>1/rji，这样银行就要倒闭了。
当对任意 k 都有 ck=0 时有最优子结构性质。假设从货币 a 兑换到货币 b 存在一个兑换序列 k1,k2...km，其中 k1=a,km=b，使得 rk1k2rk2k3...rkm−1km 最大。
利用剪切-粘贴方法证明，即假设最优兑换序列是 ki,ki+1...kj，又存在另一个兑换序列 ki,k′i+1...k′j−1,kj 使得rkik′i+1rk′i+1k′i+2...rk′j−1kj>rkiki+1rki+1ki+2...rkj−1kj，我们用ki,k′i+1...k′j−1,kj 序列代替 ki,ki+1...kj 得到更优解。
当 ck 为任意值时，此时不一定具有最优子结构，举个例子，从货币 1 兑换到 货币 4，汇率分别是 r12=2,r13=2.5,r14=6,r23=1.5,r24=3,r34=3，其中 rii=1,rji=1/rij。令 c1=2,c2=c3=3。所以兑换货币 1 到货币 4 有 5 种兑换方法，最优解是序列 1,2,3,4，最后 1 个单位的货币 1 兑换成 6 个单位的货币 4。
然后检查子结构，从货币 1 兑换到货币 3，最优兑换序列就是 1,3。这个兑换序列并不是 1,2,3。