CLRS 15.2矩阵链乘法

15.2-1
m 表如下：
m[1,2]=150,m[2,3]=360,m[3,4]=180,m[4,5]=3000,m[5,6]=1500
m[1,3]=330,m[2,4]=330,m[3,5]=930,m[4,6]=1860
m[1,4]=405,m[2,5]=2430,m[3,6]=1770
m[1,5]=1655,m[2,6]=1950
m[1,6]=2010

s 表如下：
s[1,2]=1,s[2,3]=2,s[3,4]=3,s[4,5]=4,s[5,6]=5
s[1,3]=2,s[2,4]=2,s[3,5]=4,s[4,6]=4
s[1,4]=2,s[2,5]=2,s[3,6]=4
s[1,5]=4,s[2,6]=2
s[1,6]=2

因此结果为(A1A2)((A3A4)(A5A6))。

附带本题代码

#include <iostream>#include <climits>using std::cout;using std::endl;void MATRIX_CHAIN_ORDER(int *p,int n,int **m,int **s){    for(int i = 0; i <= n; ++i)        m[i][i] = 0;    for(int l = 2; l <= n; ++l) //计算当前矩阵链长度时的最优解，比如当前长度是4，与n无关    {        for(int i = 1; i <= n - l + 1; ++i)        {            int j = i + l - 1;            m[i][j] = INT_MAX;            for(int k = i; k <= j - 1; ++k)            {                int temp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];                if(temp < m[i][j])                {                    m[i][j] = temp;                    s[i][j] = k;                }            }        }    }}void PRINT_OPTIMAL_PARENS(int **s,int i,int j){    if(i == j)        cout << 'A' << i;    else {        cout << '(';        PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]);        PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j);        cout << ')';    }}int main(){    int p[] = {5,10,3,12,5,50,6};    int n = 6;    int **m = new int *[n+1];    int **s = new int *[n+1];    for(int i = 0; i < n + 1; ++i)    {        m[i] = new int[n+1];        s[i] = new int[n+1];    }    MATRIX_CHAIN_ORDER(p,n,m,s);    PRINT_OPTIMAL_PARENS(s,1,6);    for(int i = 0; i < n + 1; ++i)    {        delete []m[i];        delete []s[i];    }    delete []s;    delete []m;    return 0;}

15.2-2

MATRIX_CHAIN_MULTIPLY(A,s,i,j)    if(i == j)        return A[i]    if(j == i+1)        return A[i]*A[j];    else        B1 = MATRIX_CHAIN_MULTIPLY(A,s,i,S[i,j])        B2 = MATRIX_CHAIN_MULTIPLY(A,s,S[i,j]+1,j)        return B1*B2

15.2-3
假设 P(n)≥c2n，代入得：

P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k)≥∑k=1n−1c2k⋅c2n−k=c2∑k=1n−12k2n−k=c2∑k=1n−12n=c2(n−1)2n≥c⋅2n

15.2-4
子问题图的顶点是有序对 vij，其中 i≤j，如果 i=j，顶点 vij 就没有输出边，如果 i<j，对每一个 k，当 i≤k<j 时包含边 (vij,vik),(vij,vk+1,j)，这两条边表示解救 Ai...Aj 的最优解为 Ai...Ak 和 Ak+1..Aj 的最优解乘积。顶点数为：

∑i=1n∑j=1n1=n(n+1)2

边的数目：

∑i=1n∑j=1n(j−i)=(n−1)n(n+1)6

所以顶点和边分别为 Θ(n2)、Θ(n3)。

15.2-5
每次 l 循环时 i 循环执行 n−l+1 次，每次 i 循环时 k 循环执行 j−i=l−1 次，每次 k 循环执行访问 m 两次，总的就是 ∑nl=2(n−l+1)(l−1)2，所以有：

∑i=1n∑j=1nR(i,j)=∑l=2n(n−l+1)(l−1)2=2∑l=1n−1(n−l)l=n3−n3

15.2-6
数学归纳法：
当 n=1 时，不需要括号，所以成立。
当设 n≤k 时成立，当 n=k+1 时，则对该矩阵任意划分，假设划分点为 i，则左边矩阵链长度为 i，因此需要 i−1 个括号,右边矩阵链长度为 k+1−i，因此需要 k−i 个括号，总的需要 k−i+i−1=k−1 个括号，因为最外面需要一个括号，所以共 k 个括号。