浅谈筛法

最近做了一道题，是求107内的欧拉函数的，我用了欧拉筛法来求欧拉函数，但对了之后发现各种各样的水法涌现出来，我也是醉了。
于是我想来谈一下筛法。
筛法，顾名思义，就是筛选的方法，可以用来筛选出质数，计算某些与素数有关的函数等等。

埃拉托斯特尼筛法

在讲这个前，我要讲讲埃拉托斯特尼这个人，他是古希腊人，大约在公元前274～194年前就发明了这个算法，真是太**了！！！
具体做法是：给出要筛数值的范围 n√，找出n√以内的素数p1,p2,p3,...,pk。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是用3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去……。
因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。
详情请见：

http://baike.baidu.com/view/82625.htm

线性筛法

我们发现，上面的算法中，同一个数可能会被多个不同的素数筛掉，那是否可以让一个数只被一个素数筛掉。
我们可以规定，一个数只会被其最小（或最大）的质因数筛掉。
那么，这个筛法的时间是线性的，相当于是上面的算法的优化。
如何实现？
看代码：

fo(i,2,N){        if (!check[i]){            check[i]=1;            pri[++k]=i;        }        fo(j,1,k){            if (i*pri[j]>N)break;            f[i*pri[j]]=1;            if (i%pri[j]==0)break;        }    }

至于其他的一些筛法的应用，大家就自己琢磨吧。