详细阐述约瑟夫环问题（报数出队问题）

约瑟夫环问题(Josephus)

      用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

直接上代码：

1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4     int n, m, i, s = 0; 5     printf ("N M = "); 6     scanf("%d%d", &n, &m); 7     for (i = 2; i <= n; i++) 8     { 9         s = (s + m) % i;10     }11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);12 }

刚接触这类问题的同学是不是有一种“我靠，为什么这么少”的感觉，然而只要这么少。

接下来讲解一下代码，既然作为一个经典的问题，那么此算法也当然不仅仅是对游戏过程的模拟了，更是对数学本质的一个分析。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个出列的人编号一定是 m%n -1。那么剩下的n-1个人便可以看做组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把n-1个人的时候的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题！（这便不是让我们倒推吗？）

假如我们知道这个子问题的解：例如A[n-1]是在n-1个人中的最终胜利者，那么根据上面对A[n-1]进行转换  便刚好就是n个人情况的解。变回去的公式很简单，如下：

A[n]=(A[n-1]   +k)%n。（k是在n个人中第一个出列的人的编号，此处这个公式涉及了上面叙述到的编号的转换，需要搞懂了才能理解）

由于k=m%n，那么公式也可以写为A[n]=(A[n-1]   +m)%n。为什么呢？很容易理解，7%3=1 , 1%3=1。


如此也是得出了递推公式：

A[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是A[n]

A[1]=0;

A[2]=(A[1]+m)%2;
A[i]=(A[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出A[i]的数值，最后结果是A[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出A[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个A[i]，于是便得到了最终的程序：

1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4     int n, m, i, s = 0; 5     printf ("N M = "); 6     scanf("%d%d", &n, &m); 7     for (i = 2; i <= n; i++) 8     { 9         s = (s + m) % i;10     }11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);12 }

参考博客：http://blog.csdn.net/ZCSYLJ/article/details/6830703

本人博客，算法均为新手，闻过则喜，望各前辈不吝指点批评。