静电边值问题的唯一性定理

静电场

真空中的Maxwell方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j+ε0μ0∂E∂t

在静电场中，∂B∂t=0，所以∇×E=0.
引入ϕ，使E=−∇ϕ，代入第一个式子即得

∇2ϕ=−ρε0

又因为

ϕ(x)=14πε0∫ρ(x′)|x−x′|dx′

所以

∇21|x−x′|=−4πδ(x−x′)

静电边值问题

问题：已知V内ρ，在什么条件下可以得到电场？
原则：V外的ρ分布，都反映在边界上.因此只要再知道边界的条件即可得到电场.

设ψ,ϕ为任意的标量函数，c=ϕ∇ψ，由Gauss定理，

∫V∇⋅cdτ=∮c⋅dα=∮c⋅ndα

得

∫V[ϕ∇2ψ+(∇ϕ)(∇ψ)]dτ=∮ϕ∂ψ∂ndα

把ϕ,ψ互换，得

∫V[ψ∇2ϕ+(∇ψ)(∇ϕ)]dτ=∮ψ∂ϕ∂ndα

两式相减，得

∫V(ϕ∇2ψ−ψ∇2ϕ)dτ=∮(ϕ∂ψ∂n−ψ∂ϕ∂n)dα

取ϕ=ϕ(x′),ψ=1|x−x′|
得到

∫V[−4πδ(x−x′)ϕ(x′)+1Rρ(x′)ε0]d3x′=∮⎛⎝⎜⎜ϕ(x′)∂1R∂n−1R∂ϕ(x′)∂n⎞⎠⎟⎟dα

所以有

ϕ(x′)=14πε0∫Vρ(x′)Rd3x′+14π∮∂V(1R∂ϕ(x′)∂n−ϕ(x′)∂∂n1R)dα

第二部分正是边界对电场的影响.

唯一性定理

问题：什么样的边界条件可以唯一确定电场？
推导：两类边值条件都可以
设Φ1,Φ2都是电场的解，定义 U=Φ1−Φ2，则

∇2U=0

在

∫V[ϕ∇2ψ+(∇ϕ)(∇ψ)]dτ=∮ϕ∂ψ∂ndα

中，令ϕ=ψ=U，得

∫V[U∇2U+(∇U)2]dτ=∮U∂U∂ndα⇒∫V(∇U)2dτ=∮∂VU∂U∂ndα

因此，如果在边界处有

U=0or∂U∂n=0

那么∇U=0，从而Φ1,Φ2最多相差一个常数，在物理意义上是同一个函数.

即所求的边值条件是

Φ1=Φ2or∂Φ1∂n=∂Φ2∂n

或者说边界上的ϕ或∂ϕ∂n已知.

镜像法

镜像法：求解静电边值问题的一种方法.
依据：唯一性定理

例：镜像

无限大的平面导体，距离平面a处有一个电荷 q，求它引起的电势分布.

分析：

• 静电问题中的导体是一个等势体；
• 由于延伸到无穷远处，不妨设无穷远处的电势为0，那么导体的电势处处为0.
• 左半平面的解是φ=0
• 要研究右半平面的电势分布，已知内部电荷分布和边界电势分布即可，但是直接表示出电势分布并不方便；
• 采用镜像法，只需要在外部假设一个点电荷取代无限大边界，保证边值相同即可
• 这样的点电荷的取法即和q位置对称、电荷为 −q 的电荷.
• 采用镜像电荷，右半平面的电势可以方便写出
  
  φ(x,y,z)=14πεq(x−a)2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−−√−14πεq(x+a)2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−−√
  
  进而电场强度 E=−∇φ 也可以求出.

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例：球面

半径为R的接地导体球，距离球心d>R处有一个点电荷q，求导体外的电势分布.

分析：

• 球面电势为0。
• 对所要研究的球外区域，其内部区域（球外）电荷分布已知，边界电势分布也已知（为0），同样需要在外部区域（球内）找到一个电荷可以构造出同样的边界电势
• 其结论是该点的位置在q的连心线上，满足
  
  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=R2bq′=−qRb
  
  因此，球外的电势分布可以方便地表示出(原点为圆心)
  
  φ(x,y,z)=14πεq(x−b)2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−√−14πεqRb(x−R2b)2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−−−√

拓展：

1. 如果导体球不接地，但是已知球面的电势为定值φ0，那么采用叠加原理，在导体球内部再增加一个位于球心的点电荷，电荷量为 4πεRφ0
2. 如果导体球不接地，但是已知球面的电荷量为Q，同样采用叠加原理，在球心增加一个点电荷？

格林函数法

∇′2G(x,x′)=−4πδ(x−x′)G(x,x′)=1|x−x′|+F(x,x′)∇′2F(x,x′)=0

对已知Φ在边界值（第一类边界条件），通过适当选取F，使GD(x,x′)=0 for x′在边界。从而有

Φ(x)=14πε0∫VρGD+14π∮(−1)Φ∂G′D∂n′（形式解）

即第一类格林函数GD

{∇′2GD(x,x′)=−4πδ(x−x′)GD(x,x′)=0(∂V)

对第二类边界条件，理想的是

⎧⎩⎨∇′2GN(x,x′)=−4πδ(x−x′)∂∂n′GN(x,x′)=0(∂V)

但是由于Gauss定理

∮∂V(∂G′∂n′)⋅dα=4π≠0

所以只能取

∂∂n′GN(x,x′)=−4πS

电势分布的形式解为

Φ(x)=14πε0∫ρGN+14π∮GN(∂ϕ∂n′)+⟨Φ⟩S

特解叠加法

形式

Φ(x)=∑n∫fn(x)Cn

原则

1. 把ρ分开
2. 根据边界形状定fn(x)

∇2Φ=−ρε0Φ=ϕc+ϕ⎧⎩⎨ϕc=14πε0∫VρRdτ∇2ϕ=0

∇2ϕ=0在球坐标下分离变量

分离变量的结果是

⎧⎩⎨Q=e±imφU=Arl+1+Br−lPml(x)=连带勒让德函数,x=cosθ

特殊情形：方位角对称，m=0.

ϕ(r,θ)=∑l=0∞(Alrl+Blr−l+1Pl(cosθ),Al,Bl对称

例

半径为a的球，球面电势

U=⎧⎩⎨⎪⎪V,0<θ<π2−V,π2≤θ<π

求球内外电势.

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Thanks to Mr. Zhu