惯性导航之认识四元数（四）

之前说到，使用欧拉角积分和方向余弦积分求得角度并不合适，而比较合适的是四元数。

在讨论「四元数」之前，我们来想想对三维直角坐标而言，在物体旋转会有何影响，可以扩充三维直角坐标系统的旋转为三角度系统（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供这么一段：

• Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having “pitched up” 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.

简单地说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身即失去对任意轴的自由性。（引自四元數與旋轉）

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工具：

• 复数、四元数
• 欧拉公式

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开始正文

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一、什么是四元数？

四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i2=j2=k2=−1，i0=j0=k0=1, 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示q=a+bk+cj+di，其中a、b、c 、d是实数。（引自百度百科：四元数）

四元数的表达式：

• q=a+bi+cj+dk

虚数单位满足：

• i2=j2=k2=ijk=−1

我们可以从复数来认识四元数，顺便说一下四元数的来历。在二维空间中，复数可以和复平面中的点一一对应，并且可以表示二维空间中的旋转。但是到了三维空间中呢？爱尔兰数学家哈密顿在将复数延伸到三维空间中时，想使用q=a+bi+cj来表示和三维空间中的点对应，但是遇到了一个问题，这个‘三元数’的乘法和除法该怎么计算呢？例如，i*j应该等于多少？而最终，哈密顿牺牲了乘法交换律创造了四元数，虚数单位可以得到完整的乘法表：

– 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1

这样，相应的加减乘除也得到了解决。

四元数的运算：
设有两个四元数：

• q1=w1+x1i+y1j+z1k
• q2=w2+x2i+y2j+z2k

则加法定义为：

• q1+q2=(w1+w2)+(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k

乘法遵循分配律：

• q1∗q2=(w1∗w2−x1∗x2−y1∗y2−z1∗z2)+(w1∗x2+x1∗w2+y1∗z2−z1∗y2)i+(w1∗y2−x1∗z2+y1∗w2+z1∗x2)j+(w1∗z2+x1∗y2−y1∗x2+z1∗w2)k

单位四元数，范数（模长）为1：

• N(q)=|q|=x2+y2+z2+w2=1

定义四元数q=w1+x1i+y1j+z1k的共轭为：

• q=w1−x1i−y1j−z1k

四元数的倒数为：

• 1q=q∗N(q)

具体的四元数的运算在这里就不说了，维基百科四元数里有比较详细的解释。

总之，四元数是类似复数的超复数，有三个虚数单位。为了延伸到三维空间产生，可以表示三维空间里的点，三维空间的旋转。

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二、四元数表示旋转的约定

用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间里的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。
四元数表示空间中的点
若三维空间里的一个点的笛卡尔坐标为 (x,y,z)，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）xi+yj+zk 表示。
单位四元数表示一个三维空间旋转
设 q 为一个单位四元数，而 p 是一个纯四元数，定义
Rq(p)=qpq−1
则 Rq(p)) 也是一个纯四元数，可以证明 Rq 确实表示一个旋转，这个旋转将空间的点 p 旋转为空间的另一个点 Rq(p))。(引自维基百科：四元数与空间旋转)

看了上面的解释还是不是很好理解，那么，四元数是怎样表示空间中的旋转的呢？先从二维空间中的复数看起。

复数的表达形式：

• 一般形式：q=a+bi
• 向量形式
• 指数形式：z=reiθ（或者叫极坐标形式）
• 三角形式：z=rcosθ+irsinθ
• 极坐标形式：z=r<θ

我们还需要知道一点，欧拉公式：

• 欧拉恒等式：eiπ+1=0
• 欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ

欧拉公式证明可以有泰勒级数或者求导证得，这里不多说。

由复数的各种表现形式和欧拉公式，可以推导出：

• z=a+bi=rcosθ+irsinθ=reiθ（这里r=a2+b2）

则对于复数z和单位复数eiθ=cosθ+isinθ的乘积zeiθ可以解读为点z在二维复平面中逆时针旋转了θ经度，或者向量(a,b)在复平面中逆时针旋转了θ度。即：z=a+bi可以表示为向量（a，b）旋转了θ度，θ=arctan(b/a)。

类比于此，四元数z=a+bi+cj+dk=reiθ也可以表示一个旋转,不过不如复数那样明确，难以想象在R4中的四元数是对R3中的向量怎样执行运算的。

仿照关于单位复数的欧拉公式的证明方法，可以得到单位四元数的欧拉公式：
eθ2(xi+yj+zk)=cosθ2+(xi+yj+zk)sinθ2,for x,y,z∈R s.t. x2+y2+z2=1(引自维基百科：四元数与空间旋转)

这里直接给出四元数表示旋转的约定。首先明确一点：

• 只有特征四元数（范数为1）才能表示旋转。（至于为什么，不知道……）

一个有固定点的刚体通过绕该轴旋转特定角度就可以达到任何姿态。
转轴可以表示成为一个单位向量：

• n= cosα⋅i+cosβ⋅j+cosγ⋅k

描述该转动的四元数为:

• q=cosθ2+sinθ2⋅n

最终表示为：

• q=cosθ2+sinθ2cosα⋅i+sinθ2cosβ⋅j+sinθ2cosγ⋅k

四元数可以表示旋转的转轴和角度。

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主要参考资料：

1、百度百科：四元数
2、维基百科：四元数
3、维基百科：四元数与空间旋转
4、線代啟示錄：四元數與三維空間旋轉
5、線代啟示錄：四元數