sg函数学习小结

sg函数： 博弈论中的经典问题，几乎可以解决博弈论中的所有问题。你可以将sg函数看作是一个深搜的的过程。而每一堆的石子就相当于图中间的节点。所以说整个sg函数的过程就是在对一个有向无环图进行dfs的过程。

sg函数的具体内容可以用一个公式来表示：sg(x) =mex{sg(y) : y ∈ F(x)}。其中｛｝内的是一个集合 ，   在：右边的

是该集合元素所满足的条件。sg（y）为该元素的值（其实就是一个递归的过程）。    mex（）函数表示是不在该集

合中的最小的非负整数的值。比如mex({1,2,3})=0...mex({0,2,4})=1...mex({})=0..最后得出来的结果中。为0为必败

点，不为零必胜点。

对于多堆石子的情况，我们很容易想到尼姆博弈。但对取石子的方式加以限制，就不能用尼姆公式去判断必败或局

面。这时可以对每个石子堆进行sg函数调用，将得到的值经行异或，值为零即必败局面，不为零为必胜局面。  也可

以说sg函数的使用是尼姆博奕的拓展。

下面给出一个SG函数求解的模板：

int sg[N];bool hash[N];void sg_solve(int *s,int t,int N)   //N求解范围 S[]数组是可以每次取的值，t是s的长度。{    int i,j;    memset(sg,0,sizeof(sg));    for(i=1;i<=N;i++)    {        memset(hash,0,sizeof(hash));        for(j=0;j<t;j++)            if(i - s[j] >= 0)                hash[sg[i-s[j]]] = 1;        for(j=0;j<=N;j++)            if(!hash[j])                break;        sg[i] = j;    }}

还有一个set容器实现的的模板：

<span style="color:#000000;">void sg_solve(){    memset(sg,0,sizeof(sg));    for(int i=1;i<N;i++)    {        set<int> v;        for(int j=0;j<t;j++)            if(i - s[j] >= 0)                v.insert(sg[i-s[j]]);        int g=0;        while(v.count(g)!=0)            g++;        sg[i]=g;    }}</span>

例题：  HDOJ  1848  Fibonacci again and again

Problem Description：

任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生，它是这样定义的：
F(1)=1;
F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);
所以，1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。
在HDOJ上有不少相关的题目，比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。
今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、  这是一个二人游戏;
2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、  两人轮流走;
4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、  最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

 

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含3个整数m,n,p（1<=m,n,p<=1000）。
m=n=p=0则表示输入结束。

 

Output

如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

1 1 11 4 10 0 0

 

Sample Output

FiboNacci

 

题解：这一题就是个sg函数应用的模板题。首先用将每个数的sg值打表，不然超时。

代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>int fib[22],hash[1010],sg[1010];void getsg(){int i,j;memset(sg,0,sizeof(sg));for(i=0;i<=1001;++i){memset(hash,0,sizeof(hash));for(j=1;j<=20;++j){if(i>=fib[j])  hash[sg[i-fib[j]]]=1;}for(j=0;j<=1001;++j){if(!hash[j])   break;}sg[i]=j;}}int main(){int n,m,p,ans,i;fib[1]=1;fib[2]=2;for(i=3;i<=20;++i)  fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];getsg();while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&p)&&n||m||p){ans=0;ans=ans^sg[n]^sg[m]^sg[p];if(ans)   printf("Fibo\n");else   printf("Nacci\n");}return 0;}