NOIP 2013 火柴排队 （证明+乱搞之后的逆序对）

前两天做到一道关于逆序对的题，题解说这道题和 NOIP 2013 火柴排队相似，于是就抱着粘粘代码的心态看了看这道题。乍一看发现，这和逆序对有毛线关系。于是就想啊想想啊想（如果考场上这么想啊想想啊想肯定就TLE了）

首先看到每一盒内任意两根火柴长度不等。我们思考什么时候满足距离：Σ(a[i]-b[i])^2最小。比较容易猜测到，当a，b两个序列同为升序或降序时，对应着的a[i]和b[i]使得这个和最小。
然后证明一下，很容易：假如a，b现在都是升序，所以有a[i] < a[j], b[i] < b[j] (i < j)，因为对于任意两个i，求和是互不影响的，所以我们可以交换a[i]，a[j]来仅仅改变这两个位置的计算结果，其他n-2个不变。那么改变之前的距离就是: T + (a[i]-b[i])^2 + (a[j]-b[j])^2，改变之后的距离就是: T + (a[j] - b[i])^2 + (a[i] - b[j])^2，因为有条件 a[i] < a[j] && b[i] < b[j]，所以展开后就可以得到证明了。

当我们证明了这个，就可以得知，序列a中第k大的元素必须和序列b中第k大的元素相对 (k ∈ [1,n])，这样使得两个序列距离最小。所以，a，b的具体数值就不重要了，只需要知道每个元素是第几大的，可以离散化一下。这样，a，b就都变成1~n的排列了。我们用pos[i]记录i在a中的位置，那么pos[i]所表示的同样也是序列b的终态（离散化后，达到的距离最小状态就是a，b序列相同时，距离为0）。也就是说，pos[b[i]]就是b序列中第i个元素在移动过后应该在第几个位置上。“在第几个位置”，第1、2……n个位置，这个可以看作升序序列吧，令b[i] = pos[b[i]]，直接拿第i个元素应该在第几个位置来替换它的值即可。

那么现在的任务就变成，把一个1~n的排列变成升序，求最小操作次数，每次操作只能交换相邻元素。每次交换我们至多可以减少一个逆序对，终态逆序对数为0（定义此处逆序对为a[i] > a[j] && i < j）。所以就变成了求逆序对。用树状数组O(nlogn)搞就好了。

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#define lowbit(x) (x&-x)#define P 99999997using namespace std;struct Node{    int k, id;    bool operator < (Node t) const    {        return k < t.k;    }};int n, ans, f[100005], sota[100005], sotb[100005], pos[100005];Node a[100005], b[100005];void get(int &x){    char c = getchar(); x = 0;    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();    while(c <= '9' && c >= '0') x = x*10+c-48, c = getchar();}void add(int x){    while(x <= n) f[x] ++, x += lowbit(x);}int sum(int x){    int res = 0;    while(x) res += f[x], x -= lowbit(x);    return res;}int main(){    scanf("%d", &n);    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i].id = b[i].id = i;    for(int i = 1; i <= n; i++) get(a[i].k);    for(int i = 1; i <= n; i++) get(b[i].k);    sort(a+1, a+n+1);    sort(b+1, b+n+1);    for(int i = 1; i <= n; i++) sota[a[i].id] = i;    for(int i = 1; i <= n; i++) sotb[b[i].id] = i;    for(int i = 1; i <= n; i++) pos[sota[i]] = i;    for(int i = 1; i <= n; i++) sotb[i] = pos[sotb[i]];    for(int i = n; i; i--)     {        ans = (ans + sum(sotb[i]-1)) % P;        add(sotb[i]);    }    printf("%d", ans);    return 0;}