【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第七课 Ax=0的算法

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

行阶梯矩阵

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回到我们最初的问题Ax=0，我们知道可以使用消元法求解，现在将介绍具体算法

还记得消元的过程吧？参看第二课
http://blog.csdn.net/a352611/article/details/48603941
我们可以利用pivot对矩阵进行化简，使其成为阶梯矩阵的形式，如：

从column space的角度看，我们将pivot所在列称为pivot column，其他列称为free column。

为什么叫它们free呢？因为可以很容易地看出free column都可以由pivot column 线性组合（linear combination）得到，这意味着不论free column乘以一个怎样的系数都会被pivot vector的线性组合抵消为0，也别忘记这里消元进行的操作都可以用矩阵乘法表示，所以将所有的消元操作写为P，则
Ax=PUx=0即Ux=0的null space 就是Ax=0的。
null space就是任取一列free column，用pivot column线性组合得到它，此时的scalar就是Ax=0的特解（free column的scalar为1），写成依次写为vector形式（乘任意scalar皆为解），将vector组合起来即为null space。
上例最终解：

行最简矩阵

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行最简矩阵（row reduce echelon form， 简写为rref）
将行阶梯矩阵pivot所在列的pivot化为1并将除pivot number外的数全部化为0（通过行操作轻松实现），这样就能得到行最简矩阵rref

从 column vector角度来看，一个3*4的矩阵的column vector落在R3所以那些pivot vector 肯定是集合[1,0,0]T,[0,1,0]T,[0,0,1]T的子集

化为rref的形式的目的就在于我们想要直接写出null space，这里我们引入null matrix的概念，就是把刚才组合成null space的vector当做column vector拼成一个矩阵，很明显，这个矩阵N:

PS: MATLAB 中，使用rref 和null 函数可以求解矩阵的行最简矩阵和零空间，对于null函数，其返回的是norm vector（单位向量）
PS2：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10304117