【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第九课 向量与矩阵的桥梁

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

线性无关(independence)

对于一堆向量（向量组）v1,v2,v3...vn，若他们的线性组合(linear combination)不为零向量，则称他们线性无关

注意，线性组合时不能让 所有的 系数（scalar）取零，换个角度理解就是任取其中一个向量，该向量无法由其他向量线性组合得到。话已至此，向量组的线性无关就与之前我们学习的矩阵有了联系。

基(basics)

基，basics，强调英文的原因在于复数形式代表基是 一组 向量，其有两个性质：
1. 线性无关(independence)
2. 他们所有的线性组合构成一个space(像之前介绍的column space)
我们最熟悉的基：xyz，基的数量就是其组成space的维数dimension
(R3的基basics并非只有xyz，你可以很容易找到其他的一组基，实际上这样的基有无数组，如[1,2,3],[3,4,5],[5,6,9],另外[1,2,3],[2,5,6]也是一组基，不过它们是其组成的平面的基，维数为2)

从向量组到矩阵

我们把向量组中的向量当做矩阵的column vector写成一个矩阵的形式，观察我们的column space，利用上一节课的内容我们可以找到pivot column，而free column可以由pivot column线性组合得到，有没有很眼熟？

pivot column原始的vector 就是组成的column space的basics，在矩阵中我们把pivot column的数目叫做rank(秩)，在向量中我们叫basics中vector的数量dimension 维度，即
dim(C(A))=rank(A)
(A为矩阵，C(A)为其column space)

目前所学还差一个space没有和向量挂上钩，null space，Ax=0的解所在的space，null space就是各取一列free column，用pivot的线性组合可以得到free column，其系数scalar就是一组解x,，乘以任意常数得到cx都是解，cx就是一个vector，这里老师直接丢了结论：

组成null space的这些vector就是null space的basics

也写一个关于null space的结论：
dim(null(A))=N−rank(A)
(A为矩阵，null(A)为其null space, N为矩阵的列数)

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/12584479
PS2：文中各种英文的原因在于我急于熟悉这些概念的英文名称，而一直重复记录和理解是我目前能想到的一个笨办法