【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十八课 行列式的性质
来源:互联网 发布:java中接口作为参数 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 03:45
本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~
行列式 determinant
行列式最早是应用在用来判断方程组是否有解,在矩阵被发明后,行列式就拥有了更多的性质和应用。其强大之处在于将整个矩阵的信息压缩到了一个值当中。
所以行列式的英文名为determinant:决定因素,因为他可以决定方程组是否有解即矩阵是否可逆,从另外一个角度来理解,行列式代表了这个矩阵的特征,这是学习特征分解的前置概念。
行列式的性质
老师在课上讲解了行列式的性质,三个最基础的性质:
det(I)=1 单位矩阵的行列式determinant为1- 交换矩阵任意两行,行列式的值取负
- 行列式计算对于矩阵的行 而言是一种线性运算,例子:
这里强调只对矩阵的行有效的原因在于:该运算对矩阵本身并非线性即
其他的性质都可以由这三个最基础的性质推导出来:
4. 当矩阵中有两行相同时,其行列式为0。(由2推导)
5. 第i行减去第j行的k倍(即我们在消元时进行的操作),其行列式不变(由3推导)
6. 矩阵中有一行全部为0,其行列式为0.(由3推导,乘0系数)
7. 如果矩阵为上三角或下三角,那么行列式为对角线上元素的积。(由3推导,可以化简成出了对角线全是0)
8. 矩阵的行列式为0是该矩阵不可逆的充分必要条件,行列式不为0是该矩阵可逆的充分必要条件。(由7推导,我们消元的过程即LU分解,若可逆则LU中不存在全0的行,行列式不为0)
9.
10.
摧毁整门学科的性质
看看我们的性质2,交换两行,行列式值取负,那么,如果我交换7次或者10次之后得到矩阵本身,怎么办?!按理来说交换7次行列式取负,可我得到了它本身啊?自相矛盾啊怎么办?!于是整个学科废了!然后老师就说其实permutation是有区分奇数次和偶数次的
我没听懂啊喂!!
我没听懂啊喂!!
我没听懂啊喂!!
什么叫区分奇数次和偶数次啊?老师,我连怎么交换7次得到本身都做不到啊!!!
求指导
PS:另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13774227
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