求无向联通图的割点

转自http://www.cnblogs.com/en-heng/p/4002658.html

• DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。
  
• 树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
  
• 回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。

基于DFS的算法

该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：

1. 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
   
2. 对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。

对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。

我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：

low[u]={min{low[u], low[v]}     (u,v)为树边

min{low[u], dfn[v]}     (u,v)为回边且v不为u的父亲节点

下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。

i0123456789101112vertexABCDEFGHIJKLMdfn[i]15121011138694723low[i]1115515582511

对于情况2，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。