算法导论之2.3-7练习题

题目：给出一个Θ(nlgn)时间的算法。判断在集合S中，是否存在两个元素的和为x。

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算法导论的教师手册解法如下：

1.对集合S排序。
2.创建集合T = {z : z = x − y ，y ∈ S}。
3.对集合T排序。
4.去除S和T中的重复元素。
5.按照从小到大顺序或者从大到小顺序合并两个集合
6.对于合并以后的集合而言，当且仅当集合中的相邻位置出现相等元素，则存在，否则不存在。

这个解法的大致含义：假设集合T中存在一个元素w，那么w = x - y，而集合S中存在y，由于集合中已经没有重复的元素，如果集合S与集合T中的元素合并，相邻位置出现相等元素， 则表明集合S中存在w，因此w + y = x，则存在。

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由于所需时间复杂度为O(nlogn)，所以我们用归并排序，Java代码如下：

private static void mergeSort(int[] arr, int lo, int hi) {        if (lo < hi) {            int mi = (lo + hi) / 2;            mergeSort(arr, lo, mi);            mergeSort(arr, mi + 1, hi);            rewriteMerge(arr, lo, mi, hi);        }    }    // 不使用哨兵的方法    private static void rewriteMerge(int[] arr, int lo, int mi, int hi) {        int frontLength = mi - lo + 1;        int backLength = hi - mi;        int[] l = new int[frontLength];        int[] r = new int[backLength];        for (int i = 0; i < frontLength; i++)            l[i] = arr[lo + i];        for (int i = 0; i < backLength; i++)            r[i] = arr[mi + 1 + i];        int lp = 0;        int rp = 0;        for (int i = lo; i <= hi; i++) {            if (lp == frontLength)                break;            if (rp == backLength) {                arr[i] = l[lp];                lp++;                continue;            }            if (l[lp] < r[rp]) {                arr[i] = l[lp];                lp++;            } else {                arr[i] = r[rp];                rp++;            }        }    }

So step one 的时间复杂度为O(nlogn)。

我把step two and step three 合并在一个方法中了，Java代码如下：

private static int[] createAndSort(int[] a, int aLength, int x) {        int[] aCopy = new int[aLength];        for (int i = 0; i < aCopy.length; i++)            // 我将第三步合并到这，由于a数组是有序的，通过x减去a中的最大值，放在a副本中的最小位置上            aCopy[i] = x - a[aLength - 1 - i];        return aCopy;    }

上面这个方法时间复杂度为O(n)。

step 4 Java代码如下：

private static int[] distinctArray(int[] a) {        //定义一个临时的数组        int[] temp = new int[a.length];        //将数组中的重复元素都置为整数的最小值        for (int i = 0; i < a.length - 1; i++)            if (a[i] == a[i + 1])                a[i] = Integer.MIN_VALUE;        //定义指向temp的指针，去除数组a中的重复值，将其保存到数组temp中        //temp数组中的后面的元素有可能为空        int pot = 0;        for (int i = 0; i < a.length; i++)            if (a[i] != Integer.MIN_VALUE)                temp[pot++] = a[i];        if (pot != a.length) { //如果有重复元素，去除temp数组中的空元素            int[] result = new int[pot];            for (int i = 0; i < result.length; i++)                result[i] = temp[i];            return result;        } else //如果没有重复元素，则直接返回temp数组            return temp;    }

上面这个方法时间复杂度为O(n)。

Step 5 Java代码如下：

private static int[] mergeDoubleArray(int[] a, int[] aCopy) {        int alength = a.length;        int acopylength = aCopy.length;        int[] ret = new int[alength + acopylength];        for (int i = 0; i < alength; i++)            ret[i] = a[i];        for (int i = 0; i < acopylength; i++)            ret[alength + i] = aCopy[i];        rewriteMerge(ret, 0, a.length - 1, ret.length - 1);        return ret;    }

上面这个方法时间复杂度为O(n)。

Step 6 Java代码如下：

private static boolean validate(int[] result) {        boolean isExist = false;        for (int i = 0; i < result.length - 1; i++) {            if (result[i] == result[i + 1])                return true;        }        return isExist;    }

上面这个方法时间复杂度为O(n)。

主方法Java代码如下：

public static void main(String[] args) {        int[] a = { 7, 4, 3, 34, 56, 34, 1 };        int aLength = a.length;        int x = 12;        // step one        mergeSort(a, 0, aLength - 1);        // step two and step three        int[] aCopy = createAndSort(a, aLength, x);        // step four        a = distinctArray(a);        aCopy = distinctArray(aCopy);        // step five        int[] result = mergeDoubleArray(a, aCopy);        // step six        boolean isExist = validate(result);        System.out.println(isExist);}

综上所述：总共所需时间为：O(nlogn) + O(n) + O(n) + O(n) + O(n) = O(nlogn)

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方案二如下：

public static void main(String[] args) {    int[] b = { 6,6,1};        int bLength = b.length;        int y = 12;        //用归并排序为数组b排序        mergeSort(b, 0, bLength - 1);        for (int i = 0; i < b.length; i++) {            Integer res = IterativeBinarySearch(b, y - b[i], 0, b.length - 1);            if ( res != -1 && res.intValue() != i ) {                System.out.println(true);                return;            }        }        System.out.println(false);}

二分查找算法，我就不列在这里了。这个算法很简单，算法时间复杂度为O(nlogn)。

但我个人觉得，如果令x = 12，而集合S中存在一个元素6（2个元素6正确），这种算法将会导致错误的结果。希望大家看看有什么好的建议来解决这个Bug，期待您的评论。