矩阵及其运算

不论是在自考中还是在软考中都遇到了矩阵运算的问题。每次都需要重新学习一遍，总结一下，以便查阅。

 一、基本概念

矩阵，是由mxn个数组成的一个m行n列的矩，称用二维数组类表示。通常用大写字母A，B，……表示，组成矩阵的每一个数，称为矩阵的元素，通常用表示。比如：表示一个mxn矩阵，下标ij表示元素位于该矩阵的第i行、第j列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

 

高阶矩阵中有许多值相同的元素或零元素，为了节省存储空间，对这类矩阵采用多个值相同的元素只分配一个存储空间，零元素不存储的策略，这一方法称为矩阵的压缩存储。

如果值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定的规律，称此类矩阵为特殊矩阵。矩阵的非零元素个数很少的矩阵称为稀疏矩阵。

 

特别地，一个mx1矩阵，也称为一个m维列向量；而一个1xn矩阵，也称为一个n维行向量。

当一个矩阵的行数m与列数n相等时，该矩阵称为一个n阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为副对角线。若一个m阶方阵的主对角线上的元素都是1，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：

 

若一个n阶方阵中的元素满足a_ij=a_ji0≤i，j≤n-1,则称A为对称矩阵。如一个n阶方阵的主对角线上（下）方的元素是一个固定的值或零，则称为下（上）三角矩阵。例如是一个n阶下三角矩阵。而则是一个m阶上三角矩阵。

二、运算

1、矩阵的加法

如果矩阵A和B具有相同的行数（A和B是同型矩阵），则定义它们的和A+B仍为它们同型矩阵。A+B的元素为A和B对应元素的和，即:。

给定矩阵,我们定义其负矩阵-A为：。这样我们可以定义同型矩阵A，B的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：

（1）交换律：；

（2）结合律：；

（3）存在零元：；

（4）存在负元：。

2、数与矩阵的乘法

设为一个数，与矩阵的乘积为乘A中对应的元素的值。即。由定义可知：(-1)A=-A。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

3、矩阵的乘法

设A为mxn矩阵，B为nxl矩阵。相乘必须满足矩阵A的列数等于矩阵B的行数，所得的C为mxl矩阵。即AB=C。

来一张图来理解一下：

矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

（1）结合律：；

（2）左分配律：；

（3）右分配律： ；

（4）数与矩阵乘法的结合律：；

（5）单位元的存在性：。

注意：这里AB千万不要换位置。

（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便AB有意义， BA也未必有意义；倘使AB，BA都有意义，二者也未必相等。正是由于这个原因，一般来讲，，。

（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即AB=0未必能推出A=0或者B=0。

（3）消去律不成立：如果AB=AC并且，未必有B=C。 

4、矩阵的转置

把一个mxn矩阵A的行，列互换得到的nxm矩阵B称为A的转置矩阵。即转置为用表示A的转置。矩阵的转置运算满足下列运算律：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

小结：

     本来以为矩阵复杂难懂，包含很多的东西。总结下来，基本涵盖了矩阵所有的东西，清楚明了。如果有总结不妥之处，还望指正。有不懂或不明白的地方，可以通过邮件与我交流。

 

     邮件地址：[e-mail]