扩展欧几里得算法,解模线性方程,解ax+by=c的解集
来源:互联网 发布:作业调度算法代码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 15:55
typedef long long LL;LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(a==0&&b==0) return -1; if(b==0) { x=1;y=0; return a; } LL d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d;}LL MLE(LL a,LL b,LL mod){ // 返回(a*x)%mod=b 的最小正整数解 LL x,y; LL gcd=exgcd(a,mod,x,y); if(b%gcd!=0) return -1; //若返回-1,则该方程无解 x*=b/gcd; mod/=gcd; if(mod<0) mod=-mod; LL ans=x%mod; if(ans<=0) ans+=mod; //其他解为: ans+i*mod (i为整数) return ans;}LL x0,y0,kx,ky;bool LE(LL a,LL b,LL c){ //解线性方程ax+by=c LL x1,y1; LL gcd=exgcd(a,b,x1,y1); if(c%gcd)return false; //无整数解 x0=x1*c/gcd,y0=y1*c/gcd; kx=b/gcd,ky=-a/gcd; return true; //有解,解集为:(x0+kx*t,y0+ky*t) t为整数}
用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解,当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时,方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n),假如整数 x 和 y,满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b,则方程
a* x0+ n* y0= d, 方程两边乘以 b/ d,(因为 d|b,所以能够整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解,所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为:(ans%s+s)%s;
相关证明:
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子:
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢?
如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减,得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
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