扩展欧几里德算法解线性方程ax+by=c

问题：ax+by=c，已知a、b、c，求解使该等式成立的一组x，y。其中a、b、c、x、y均为整数

a,b的最大公约数为gcd(a,b)。如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该等式无解，因为等式左边除以gcd(a,b)是整数，而等式右边除以gcd(a,b)后为小数。

因此，只有当c是gcd(a,b)的倍数的时候，该等式有解。这样，可以通过计算使ax1+by1=gcd(a,b)成立的x1、y1，然后有x=(c/gcd(a,b))*x1，y=(c/gcd(a,b))*y1，得到x,y。

问题就被转换为求使ax+by=gcd(a,b)成立的一组x,y。这可以用扩展欧几里德算法求解。如下：

如果b为零，则gcd(a,b)=a，那么x=1,y=0为一组解。

如果b不为零，根据欧几里德定理，可以设

ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2=bx2+(a-(a/b)*b)y2

化简后有x1=y2，y1=x2-(a/b)y2。因此x1,y1依赖于x2,y2，同理依次类推递归调用求出x3,y3,x4,y4……，类似于辗转相除，直到b=0时，求出xn,yn，便可以推出x1,y1的值。

扩展欧几里德算法：

// 扩展欧几里德算法,解gcd(a, b) = ax + by
// 结果存储在x,y中,用户调用时保证a、b、c都是整数
// 返回a,b的最大公约数
int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0) // gcd(a, b) == a
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int n = extended_euclid(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - static_cast<int>(a/b)*y;
    return n;
}

用户调用linear_equation求解线性方程：

// 等式ax+by=c,已知a、b、c,求x和y。
// 解该线性方程等同于解同余式ax = c(mod b)
// 返回值表示是否有解,true有解,false无解
bool linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y)
{
    int n = extended_euclid(a, b, x, y);
    if(c%n)
        return false;
    int k = c/n;
    x *= k;
    y *= k;
    return true;
}

linear_equation函数也可以用来解同余式ax=c(mod b)。

由ax=c(mod b)，可以得到ax = mb+r；c = nb+r。化简可以得到ax+(n-m)b=c。调用linear_equation可以求出x。