《算法导论》笔记&习题

2.算法入门

2.1插入排序

public void insertionSort(int[] array){        for(int i=1;i<array.length;i++){            int key = array[i];            int j = i - 1;            while(j > -1 && array[j] > key){                array[j+1] = array[j];                j--;            }            array[j+1] = key;        }    }

算法复杂度：O(n2)

循环不变式-证明的三个步骤：

1. 初始化：证明第一轮循环开始之前是正确的
2. 保持：如果在某一轮循环开始之前是正确的，此轮循环之后依然正确
3. 终止：循环结束证明正确

练习

2.1-3

public Integer linearFind(int[] array, int v){    Integer r = null;    for(int i=0;i<array.length;i++){        if(array[i] == v){            r = i;            break;        }    }    return r;}

证明循环不变式：
1. 初始化：当循环开始之前，已搜索数组为空，Index为null，符合条件
2. 保持：在开始第k次循环之前，也就是检查第k-1个数的时候，前k-2个数中都没有v。如果第k-1个数为v，那么返回k-1，否则继续下一次的循环。这两种情况都是满足条件的
3. 终止：当第N次循环结束后，整个数组检查完毕

2.1-4

public int[] add(int[] a, int b[]){    int[] r = new int[a.length+1];    int carry = 0;    for(int i=a.length-1;i>=0;i--){        int temp = a[i] + b[i] + carry;         r[i+1] = temp % 2;        carry = temp/2;    }    r[0] = carry;    return r;}

2.2 算法分析

算法复杂度的分析以来的模型是单处理机+RAM（Random Access Memory），指令逐条运行，无并行操作。
在假设每一条指令（+，-，*，/，移位）运算都消耗相同的时间的前提下，求出整个程序由给定的输入所需要的总运算数，就是时间复杂度。
为了便于比较不同算法的时间复杂度，只考虑最高次项，同时，当运算规模扩大时，最高次项的贡献最大。

习题

2.2-2

public void selectionSort(int[] a){    for(int i=0;i<a.length-1;i++){        int idx = i;//the index of the least number        for(int j=i+1;j<a.length;j++){            if(a[j] < a[idx]) idx = j;        }        int temp = a[i];        a[i] = a[idx];        a[idx] = temp;    }}

循环不变式为：第1~i-1个元素是排好序的，其他的元素比i-1大。
最差/最好时间复杂度均为：n2