图像处理中的卷积问题

卷积概念引入之滤波

这里讨论利用输入图像中像素的小邻域来产生输出图像的方法，在信号处理中这种方法称为滤波（filtering）。其中，最常用的是线性滤波：输出像素是输入邻域像素的加权和。
1.相关算子（Correlation Operator)
定义：,
即，
其中ｈ称为相关核(Kernel).
步骤：
1）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上
2）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值
3）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

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例如：A = [17  24   1   8  15            h = [8   1   6   23   5   7  14  16                 3   5   7            4   6  13  20  22                 4   9   2]           10  12  19  21   3                      11  18  25   2   9]

计算输出图像的（2，4）元素 = 18 + 81 + 156 + 73 + 145 + 167 + 134 + 209 + 22*2

2.卷积算子（Convolution)
定义：，，其中
步骤：
1）将核围绕中心旋转180度
2）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上
3）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值
4）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

3.边缘效应
当对图像边缘的进行滤波时，核的一部分会位于图像边缘外面。

常用的策略包括：
1）使用常数填充：imfilter默认用0填充，这会造成处理后的图像边缘是黑色的。
2）复制边缘像素：I3 = imfilter(I,h,’replicate’);

图像处理之卷积概念

我们来看一下一维卷积的概念.
连续空间的卷积定义是 f(x)与g(x)的卷积是 f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的.
实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位的阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.
把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.

那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是图像f(x),模板g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷积核做一个矩阵的形状.

卷积定义上是线性系统分析经常用到的.线性系统就是一个系统的输入和输出的关系是线性关系.就是说整个系统可以分解成N多的无关独立变化,整个系统就是这些变化的累加.
如 x1->y1, x2->y2; 那么Ax1 + Bx2 -> Ay1 + By2 这就是线性系统. 表示一个线性系统可以用积分的形式 如 Y = Sf(t,x)g(x)dt S表示积分符号,就是f(t,x)表示的是A B之类的线性系数.
看上去很像卷积呀,,对如果f(t,x) = F(t-x) 不就是了吗.从f(t,x)变成F(t-x)实际上是说明f(t,x)是个线性移不变,就是说 变量的差不变化的时候,那么函数的值不变化. 实际上说明一个事情就是说线性移不变系统的输出可以通过输入和表示系统线性特征的函数卷积得到.