卷积公式

卷积概念

卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。

f(t)与g(t)的卷积公式为：

f(t)∗g(t)=∫t0f(u)g(t−u)du(1)

f(t)与g(t)的拉普拉斯变换结果为：

{F(s)=∫∞0e−stf(t)dtG(s)=∫∞0e−stg(t)dt(2)

卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为：

F(s)G(s)=∫∞0e−st(f(t)∗g(t))dt(3)

公式(3)对卷积的傅里叶变换同样适用。

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卷积示例

示例1：f(t)与1的卷积

f(t)∗1=∫t0f(u)du(4)

示例2：t2与t的卷积

t2∗t=∫t0u2(t−u)du=[13u3t−14u4]|t0=112t4(5)

此外，t2与t的拉式变换为：

{F(s)=L(t2)=2!s3G(s)=L(t)=1!s2(6)

所以：

{F(s)G(s)=2s5L−1(F(s)G(s))=112t4(7)

示例2验证了公式(3)的正确性。

[知乎：卷积的物理意义]