【数据结构与算法】 Dijkstra算法

说到dijkstra，它其实是我第一个公司的Wi-Fi密码，当时我还不知道它就是求最短路径的一个算法。今天有幸能领略这位荷兰科学家的智慧～

Dijkstra算法是求某个源点到其他各顶点的最短路径的。

书本上的公式有点复杂，不如先看个例子再去理解公式～

比如上图这道题（ppt画的，凑合看吧～）

运用dijkstra，求V0到各点的最短路径？

解答具体过程：

令S表示已求出最短路径的顶点集合。D［i］表示V0到Vi的路径长度。arcs[i][j]表示从i到j的直接距离

第一步：V0到其他顶点的直接路径：

SD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]{V0}5010∞45∞
下一步：计算min{D[i]}，得到D[2]最小，便将V2加入S中，得到V0V2最短路径10，重新计算V0到各点路径：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[2]+arcs[2][1]} ＝ min{50,10+∞}=50

D[3](new) = min{D[3](old) ,D[2]+arcs[2][3]} ＝ min{∞,10+15}=25

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[2]+arcs[2][4]} ＝ min{45,10+∞}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[2]+arcs[2][5]} ＝ min{∞,10+∞}=∞

得到
SD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]{V0，V2}502545∞
下一步：（也不能说下一步，反正就是循环）计算min{D[i]}，D[3]最小，V3加入S中，得到V0V3最短路径25，重新计算路径：

D[1](new) = min{D[1](old) ,D[3]+arcs[3][1]} ＝ min{50,25+20}=45

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[3]+arcs[3][4]} ＝ min{45,25+20}=45

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[3]+arcs[3][5]} ＝ min{∞,25+∞}=∞

得到
SD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]{V0，V2，V3}4545∞

怎么样？是不是很带感

下一步：计算min{D[i]}，D[1]（看1比较顺眼）最小，V1加入S中，得到V0V1最短路径45，重新计算路径：

D[4](new) = min{D[4](old) ,D[1]+arcs[1][4]} ＝ min{45,45+10}=55

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[1]+arcs[1][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到
SD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]{V0,V2,V3,V1}45∞

下一步：计算min{D[i]}，D[4]最小，V4加入S中，得到V0V4最短路径45，重新计算路径：

D[5](new) = min{D[5](old) ,D[4]+arcs[4][5]} ＝ min{∞,45+∞}=∞

得到
SD[1]D[2]D[3]D[4]D[5]{V0,V2,V3,V1,V4}∞
得到V0V5最短路径∞，

所以最短路径为

V0V145V0V210V0V325V0V445V0V5∞

Dijkstra算法的基本思想是：按最短路径长度递增的顺序，逐个产生各最短路径。

那么如何递增呢？其实是运用一条性质：如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。

然而这条性质是如何得到呢，这就需要我们先弄清楚最短路径的“最优子结构性质”。

最优子结构性质：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面用反证法证明：

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么

必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

好了，铺垫的差不多了，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi（注意相邻和最短），那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+arcs[i][j]}。

根据这种思路，假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，S={V0}, dist[i]记录V0到Vi的最短距离，path[i]记录从V0到Vi路径上的Vi前面的一个顶点。

1.从不在S的V中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到S中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})；（上例是全部更新，不直接相邻就用“∞”表示）

3.直到S=V。

代码实现:（代码来源于网络）

#include <iostream>#include<stack>#define M 100#define N 100using namespace std;typedef struct node{    int matrix[N][M];      //邻接矩阵     int n;                 //顶点数     int e;                 //边数 }MGraph; void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点 {    int i,j,k;    bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);    for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化     {        if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)        {            dist[i]=g.matrix[v0][i];            path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点         }        else        {            dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大             path[i]=-1;        }        visited[i]=false;        path[v0]=v0;        dist[v0]=0;    }    visited[v0]=true;    for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次     {        int min=INT_MAX;        int u;        for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点         {            if(visited[j]==false&&dist[j]<min)            {                min=dist[j];                u=j;                    }        }         visited[u]=true;        for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值         {            if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])            {                dist[k]=min+g.matrix[u][k];                path[k]=u;             }        }            }    }void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点 {    stack<int> s;    int u=v;    while(v!=v0)    {        s.push(v);        v=path[v];    }    s.push(v);    while(!s.empty())    {        cout<<s.top()<<" ";        s.pop();    }} int main(int argc, char *argv[]){    int n,e;     //表示输入的顶点数和边数     while(cin>>n>>e&&e!=0)    {        int i,j;        int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w        MGraph g;        int v0;        int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);        int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);        for(i=0;i<N;i++)            for(j=0;j<M;j++)                g.matrix[i][j]=0;        g.n=n;        g.e=e;        for(i=0;i<e;i++)        {            cin>>s>>t>>w;            g.matrix[s][t]=w;        }        cin>>v0;        //输入源顶点         DijkstraPath(g,dist,path,v0);        for(i=0;i<n;i++)        {            if(i!=v0)            {                showPath(path,i,v0);                cout<<dist[i]<<endl;            }        }    }    return 0;}