MST性质证明

原文地址：http://blog.csdn.net/yelbosh/article/details/7647860

什么是MST？MST就是Most Small Tree，应该就是最小生成树的意思吧，具体不是很清楚，MST性质就是最小生成树性质（以下简称MST性质），我们在看最小生成树的算法的时候，很多情况下都有关于这条性质的说明，比如，历史上最经典的Prim算法和Kruskal算法就是根据这个性质演算出来的Algorithm，MST性质的声明如下：

最小生成树性质：设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。

关于这个性质的证明过程，网上的资料不多，即使有，也不是很全面或者证明过程不够细节，我也是花了很长时间才弄清楚的，其实很简单，下面大家看看我是怎么证明的：

为了方便下面的证明过程，预先做一些约定：

①将集合U中的顶点看作是红色顶点
②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点
③连接红点和蓝点的边看作是橙色边
④权最小的橙色边称为轻边（即权重最"轻"的边）

因此，MST性质中所述的边(u，v)就可简称为轻边。如下图：

 用反证法来证明MST性质的正确性，假设G中任何一棵最小生成树都不含轻边(u，v)。则若T是G的一棵最小生成树，则它不含此轻边。

 由于T是包含了G中所有顶点的连通图，所以T中必有一条从红点u到蓝点v的路径P，而且路径P中必定包含一条橙色边(u'，v')连接红点集和蓝点集，否则u和v不可能连通。我们假设 u-a-u'-v'-v 就是这样的一条路径，看下面的图：

  
当把轻边（u，v）加入树T时，该轻边和P明显构成了一个回路。删去紫边（u'，v'）后回路亦消除，由此可得另一生成树T'。 如下：

很显然，T'和T的差别仅仅在于T'用轻边（u，v）取代了T中权重可能更大的橙色边（u'，v'）。因为（u'，v'）的权重不可能比（u，v）小，由反证法的原理可知我们的前提条件里已经说明，所有橙色边里最小的一条边称为轻边，因为（u，v）是已经假定了的轻边，因此，必定有如下关系式：

w（u，v）≤w（u'，v'）

所以，w（T'）=w（T）+w（u，v）-w（u'，v'）   ≤  w（T）
故此T'也是G的一颗最小生成树，但是它包含（u，v），这与假设是矛盾的，所以，MST性质成立！

转自http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/

其实个人觉得没必要这么麻烦，道理很简单，我们假设任何一棵最小代价生成树都不包含（u，v），由于树都是连通图，因而必定存在其他的边联通了顶点集U和V-U，并且这样的边必须只有一条，否则便会形成回路，因为顶点集U和V-U里面各个顶点也都是连通的，你画画看看便知道了。那么如果我们现在把轻边（u，v）加入这个树中，那么便形成回路了，那这个时候我们把原来的联通U和V-U的边去掉，这样形成的树是比原来的那棵最小生成树的代价还要小的，因为边（u，v）是连接两个点集之间的权值最小的边。所以这棵新的树才是最小生成树，但是它包含了边（u，v），所以与假设矛盾，结论成立。其实我们要证明的就是，对于两个点集，有最小的权值的边（u，v），如果该图的最小生成树不包括这条边的话，那么这棵树就 不是最小生成树。