以POJ1061青蛙的约会为例谈扩展欧几里得算法

青蛙的约会
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Description
两 只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它 们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去， 总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙 是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的 数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。 现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
Source
浙江

欧几里得算法可以求出a,b的最大公约数。gcd(a,b)=gcd(b,a%b),公式两边b都靠近等号一侧,因此很好记。

int gcd(int a,int b){return 0==b?a:gcd(b,a%b);}

为什么欧几里得算法是对的，记住一个式子：a=bq+r(假设a>b。若a小于b,gcd(a,b)=gcd(b,a)。因此a大于还是小于b无所谓)。因为a%m==0且b%m==0,所以必有r%m==0:a和b的约数必是r(即a%b)的约数。同时若r%n==0,b%n==0,必有a%n==0,因此b和r的约数必是a的约数。因此a、b约数中最大值必是b、r约数中的最大值。

**

扩展欧几里得算法exGcd(a,b,x,y)：求a,b的最大公约数同时可以求得方程组ax+by=gcd的一组特殊解(x,y)。

**从式子ax+by=gcd可以看出必须先求出gcd,才能求出解。而递归中的却如此。
1、假设已经找到gcd,那么y=0,x=gcd，显然是该方程的解。而且在每一层递归函数exGcd(a,b,x,y)里都有一个解(x,y)。
2、在递归回溯过程中，假设在第n+1层exGcd(a(n+1),b(n+1),x,y)找到了(x0,y0)是方程的解。那么有a(n+1)*x0+b(n+1)*y0=c(1式)。
3、根据递归过程，在第n层调用了exGcd(bn,an%bn,x,y)进入第n+1层。因此在第n+1层的解满足a(n+1)=bn,b(n+1)=an%bn，即(1)式等价于：bn*x0+(an%bn)%y0=c(2式)。又因为an%bn=an-bn*(an/bn)。所以(2式子)等价于bn*x0+(an-bn*(an/bn))*y0=bn(x0-(an/bn)*y0)+an*y0=c(3式)。
3、假设回溯到第n层时，解为(x1,y1)，an*x1+bn*y1=c(4式)。对比(3式)和(4式)发现x1=y0,y1=x0-y0*(an/bn)。所以第n层的解可以通过第n+1层的解递推出来。在最深层有解x=gcd,y=0,因此层层回溯，每层都会有一个关于当前层exGcd(an,bn,x,y)的解(xn,yn)使得an*xn+bn*yn=gcd(an,bn)。因此回溯到第一层时就得到了关于第一层的解。
代码如下:

long long exGcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){    if(b==0){        x=1;        y=0;        return a;    }    long long g=exGcd(b,a%b,x,y);    long long temp=x;    x=y;    y=temp-(a/b)*y;//注意此处不能写成y*a/b!    return g;}

扩展欧几里得算法应用之一就是：求二元一次方程组的解(x,y), a*x+b*y=c。

注意，这里右边是c，不是gcd(a,b)。假设其中x是我们关心的，所以研究x的解的情况。计算步骤：
1、用扩展欧几里得算法求解方程：a*x+b*y=gcd(a,b). 可以同时得到gcd以及 一组特解(x0,y0)
2、如果c%gcd!=0,那么根据式子a*x+b*y=c可知其无整数解（因为a,b都可以提一个公因数gcd,但是c不能提因子gcd，等号左右两边不等价）。
3、那么a*x+b*y=c的x的特殊解x1等于a*x+b*y=gcd(a,b)的特殊解x0乘以c/gcd: x1=x0*c/gcd。4、这一步的构造很关键，因为引入了整数t，t不同解不同，这就是为什么会有无数解。因为x1*a+y1*b=x1*a+y1*b+(t*a*b/gcd-t*a*b/gcd)=a(x1+t*b/gcd)+b(y1-t*a/gcd)=c，所以方程a*x+b*y=c的x的通解就是x=x1+t*b/gcd=x0*c/gcd+t*b/gcd。

5、x有无数种情况，我们关心特殊情况，比如在实际问题中经常需要找大于0且最小的x的值。如何寻找？找x即找t，下面对t进行分析。 x=x0*c/gcd+t*b/gcd。这里的x肯定大于0，减去t*b/gcd剩下的x0*c/gcd也大于0，所以直接对x=x0*c/gcd进行分析。不妨让t=x/(b/gcd)得到x中有t个b/gcd,然后在x中减去这t个b/gcd：t=x/(b/gcd),x=x-t*(b/gcd)。此时得到的x可能小于等于0，因此要做判断，x小于等于0时加上b/gcd即可。

首先，此题有两个变量，跳的次数P和跳的圈数Q。需要求次数的最小值。当然联想到拓展欧几里得算法的应用：求解二元一次线性方程组。两只青蛙相遇的条件是：（x+mP） mod L =(y+nP) mod L=0,但是这样写不是方程式的形式，所以改成等价的方程的形式： （x+mP)-(y+nP) =Q L,等价于x-y+P(m-n)=QL,x-y=(n-m)P+QL。令c=x-y,a=n-m,b=L,则aP+bQ=c,这就是标准的二元一次方程组，两个未知量求其中一个未知量（跳到次数P）的最小值。

#include <iostream>#include <cstring>#include<cstdio>#include <algorithm>using namespace std;long long exGcd(long long  a,long long b,long long &x,long long &y){    if(b==0){        x=1;        y=0;        return a;    }    long long d=exGcd(b,a%b,x,y);    long long tmpX=x;    x=y;    y=tmpX-y*(a/b);//不能写成y*a/b    return d;}int main(){    freopen("input.txt","r",stdin);    freopen("output.txt","w",stdout);    long long ansX,x,y,n,m,L,x0,y0,a,b,c,gcd;    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)==5){        c=x-y;        a=n-m;        b=L;        gcd=exGcd(a,b,x0,y0);        if(c%gcd!=0) cout<<"Impossible"<<endl;        else{        ansX=x0*(c/gcd);        long long t=ansX/(b/gcd);        ansX=ansX-t*(b/gcd);        if(ansX<0) ansX+=b/gcd;        cout<<ansX<<endl;        }    }    return 0;}

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