NOIP2015提高组Day2 子串

题目

分析

我在考场上就想到了dp，但是。。
算了，没有但是，这就是结果，是自己努力不够的后果。
好，回到正题。

方法0

：（考场的sb方法…..）
设f[i,j,k]为a刚好匹配到i，b刚好匹配到j，分k组的方案数
转移十分暴力：a串枚举x，b串枚举y，再判断，然后累加。。

方法1：（by Philipsweng）

设fk,i,j表示a串最后分开后的最后子串[l,r]<=i，b串匹配到j，且分了k段的方案数
Fk,i,j=Fk,i−1,j+∑ix=1,A[x..i]=B[j−i+x..j]Fk−1,x−1,j−i+x−1
但是这样太慢了，我们进一步想想优化：
我们发现，若每次这样更新，就没有很好的利用到前面可用的状态。
故，我们接着分析一下fk−1,i,j和fk,i,j
Fk,i,j=Fk,i−1,j+∑ix=1,A[x..i]=B[j−i+x..j]Fk−1,x−1,j−i+x−1
Fk,i−1,j−1=Fk,i−2,j−1+∑i−1x=1,A[x..i−1]=B[j−i+x..j−1]Fk−1,x−1,j−i+x−1
整理可得：
Fk,i,j=Fk,i−1,j,(A[i]！=B[j])
Fk,i,j=Fk,i−1,j+Fk,i−1,j−1−Fk,i−2,j−1+Fk−1,i−1,j−1,(A[i]=B[j])

方法2

我们仍然设fk,i,j表示a串最后分开后的最后子串[l,r]<=i，b串匹配到j，且分了k段的方案数
但是我们可以充分利用设来推方程
f[k,i,j]=∑j−1x=1f[k−1,i−1,x]+f[x,i−1,j−1]
这样就可以得出一个简单易懂的方程，再加上前缀和优化便可以很好的解决问题了。
为什么这个方程是对的呢？
我们先想，若不分成一组，让ai，bj与前面合为一组，便是f[x,i−1,j−1]。
接着我们想前面的“最后分开后的最后子串[l,r]<=i”已经帮我们省去n的时间去匹配a串，故我们只需再枚举一次x（x<=j-1），便可以很好的解决问题了。

方法3：

(by cty考场70分方法)
他和一开始我一样是设f[k,i,j]为a匹配到i，b匹配到j，分k组的方案数，但想到了前缀和优化，不过他还是枚举了x(x<=j-1)为a倒数x和b匹配即f[k−1,1..i−1,x]
若是他设得更好就可以100了。

总结

我一般都很少打noip原题的总结，但是这题却太过“优美”了。。
其实我比赛时思维卡住的原因便是设的不够好，没有运用设去推！
从一开始方法0到方法3到方法2到方法1，这是思维的进步！
从开始枚举全部到枚举部分用前缀和再到用设去推再到观察妙用dp方程
这都是思维的突破，没有做不到只有想不到！
在以后做dp题时要多想状态之间的关系，和方程的优化，加油！

方法1：（by Philipsweng）

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN = 1005,MAXM = 205,Mo = int(1e9) + 7;char A[MAXN],B[MAXM];int F[2][MAXN][MAXM],N,M,K;int main(){    freopen("substring.in","r",stdin),freopen("substring.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);    scanf("%s", A + 1);    scanf("%s", B + 1);    int cur = 0;    for(int i = 0;i <= N;i ++)        F[0][i][0] = 1;    for(int k = 1;k <= K;k ++)    {        cur ^= 1;        for(int i = 0;i <= N;i ++)            F[cur][i][k - 1] = 0;        for(int j = k;j <= M;j ++)            for(int i = j;i <= N;i ++)            {                if (A[i] == B[j])                {                    F[cur][i][j] = (F[cur][i - 1][j - 1] + F[cur][i - 1][j]) % Mo;                    F[cur][i][j] = (F[cur][i][j] + F[cur ^ 1][i - 1][j - 1]) % Mo;                    if (i >= 2) F[cur][i][j] = (F[cur][i][j] - F[cur][i - 2][j - 1] + Mo) % Mo;                } else                    F[cur][i][j] = F[cur][i - 1][j];            }    }    printf("%d\n", F[cur][N][M]);    return 0;}

方法2：

const mo=1000000007;var    n,m,r,i,j,k,l,t,x,y:longint;    st,sr:ansistring;    ans:longint;    p:boolean;    f,s:array[0..1,0..200,0..1000] of longint;function max(l,r:longint):longint;begin   if l<r then exit(r);exit(l);end;function min(l,r:longint):longint;begin   if l>r then exit(r);exit(l);end;beginassign(input,'substring.in');reset(input);assign(output,'substring.out');rewrite(output);    readln(n,m,r);    readln(st);    readln(sr);    f[0,0,0]:=1;    for i:=0 to n do s[0,0,i]:=1;    x:=1;    for k:=1 to r do begin    for i:=1 to m do        for j:=1 to n do begin            if sr[i]=st[j] then begin                f[x,i,j]:=(s[1-x,i-1,j-1]+f[x,i-1,j-1]+f[x,i,j])mod mo;            end;            s[x,i,j]:=(f[x,i,j]+s[x,i,j-1])mod mo;        end;    x:=1-x;    fillchar(f[x],sizeof(f[x]),0);    fillchar(s[x],sizeof(s[x]),0);    end;    writeln(s[1-x,m,n]);close(input);close(output);end.

方法3：

const    mo=1000000007;var    f,sum:array[0..1,0..200,0..1000] of int64;    n,m,i,j,k,l,p,t,q:longint;    ans:int64;    s,st:ansistring;begin    assign(input,'substring.in');reset(input);    assign(output,'substring.out');rewrite(output);    readln(n,m,k);    readln(s);    readln(st);f[0,0,0]:=1;q:=1;    for i:=0 to n do sum[0,0,i]:=1;    for t:=1 to k do    begin        for i:=1 to m do            for j:=1 to n do            begin                if st[i]=s[j] then                begin                    l:=j;                    while st[i-j+l]=s[l] do                    begin                        f[q,i,j]:=(f[q,i,j]+sum[1-q,i-j+l-1,l-1]) mod mo;                        dec(l);if (i-j+l=0) or (l=0) then break;                    end;                end;                sum[q,i,j]:=(sum[q,i,j-1]+f[q,i,j]) mod mo;            end;        q:=1-q;fillchar(f[q],sizeof(f[q]),0);fillchar(sum[q],sizeof(sum[q]),0);    end;    for i:=1 to n do ans:=(ans+f[1-q,m,i]) mod mo;    writeln(ans);    close(input);close(output);end.