威佐夫博弈、黄金分割、POJ  1067

题目链接：http://poj.org/problem?id=1067

题解：
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，
规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
   这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤bk,k=0，1，2，...,n)
 表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），
 那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：
 （0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
   可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：

   1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
   由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，
 而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1> ak-1 。所以性质1。成立。
   2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
   事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，
 那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。
 如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变
 ，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
   3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

   假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，
 就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b >bk，那么，
 取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b< bk ,
 则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab -ak+ b - ak）
 ；如果a > ak ，b= ak +k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；
 如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj（j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj
 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b -aj 即可。

   从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，
 那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

   那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
    ak=[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,
由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，
可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，
若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势
。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
Beatty定理(不知道的参见：http://baike.baidu.com/view/857235.htm)有：
   An=[na]
   Bn=[nb]
   1/a+1/b=1
 
    对应题目：
   An=[na]
   Bn=An+n=[na]+n=[na+n]=[n(a+1)]=[nb]
   则：1/a+1/(a+1)=1
   解得：a=(1+sqrt(5))/2

 #include<cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    intm,n;
   while(scanf("%d%d",&m,&n) !=EOF)
    {
       if(m > n)
           swap(m,n);
       int k = n - m;
       int data = floor(k*(1.0+sqrt(5.0))/2);
       puts(data == m ? "0" : "1");
    }
    return0;
}
转载：http://blog.sina.com.cn/s/blog_8d1ecec901012wgw.html
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//下面的内容来自chengmingvictor

先找规律，算几个很小的必败状态
1，2
3，5
4，7
6，10
8，13
...
发现所有的数恰在序列中出现一次
而且差为1，2，3，4，5，...
所以这两个序列构成正整数集的一个分划，猜想可以由betty定理生成（仅仅是猜想，不需要
太多的理由^_^）
其实，这两个序列恰好对应betty定理中alpha=(1+sqrt(5))/2,beta=(3+sqrt(5))/2的情况，
所以问题解决。

这题不算出公式的话是没法做的，因为规模太大，必败状态太多，没有任何的办法

betty定理是说，如果无理数alpha和beta满足
1.alpha,beta>0
2.1/alpha+1/beta=1
那么，序列{[alpha*n]}和{[beta*n]}构成自然数集的一个分划，其中[]是取整函数

这道题对应的alpha和beta分别是(1+sqrt(5))/2,(3+sqrt(5))/2
所以alpha=1/黄金分割
beta/alpha=黄金分割
可以说跟黄金分割有关，但也只是一种巧合吧，黄金分割还是经常出现的
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
 double alpha = (1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0;
 double beta  = (3.0 + sqrt(5.0))/ 2.0;
 int big, small, n, temp1, temp2;
 while(cin>>big>>small)
 {
  if(big <small)
   swap(big,small);
  n = ceil(big / beta);
  //函数名: ceil
　  //　用 法: double ceil(doublex);
　　  //功 能:返回大于或者等于指定表达式的最小整数
  temp1 = alpha * n;
  temp2 = beta * n;
  if(small == temp1&& big == temp2)
   cout<<0<<endl;
  elsecout<<1<<endl;
 }
 return 0;
}