ACM: 博弈题 poj 1067

                                     取石子游戏

 

Description

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

Sample Input

2 18 44 7

Sample Output

010

题意: 见题目.

解题思路:

        1. betty定理:

      貝蒂定理 
       設a、b是正無理數且 1/a +1/b =1。記P={ [na] | n為任意的正整數}，Q={ [nb] | n 為任意的正整數}，則P與Q是Z+的一個劃分，即P∩Q為空集且P∪Q為正整數集合Z+。 
       證明：因為a、b為正且1/a +1/b=1，則a、b>1，所以對於不同的整數n，[na]各不相同，類似對b有相同的結果。因此任一個整數至多在集合P或Q中出現一次。 
       證明: P∩Q為空集；(反證法)假設k為P∩Q的一個整數，則存在正整數m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等價地改寫不等式為 m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起來得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。這與m、n為整數有矛盾，所以P∩Q為空集。 
       證明: Z+=P∪Q；已知P∪Q是Z+的子集，剩下來只要證明Z+是P∪Q的子集。(反證法)假設Z+\(P∪Q)有一個元素k，則存在正整數m、n使得[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。 由此得ma < k ≦[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1，類似地有nb < k ≦[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等價地改寫為 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。兩式加起來，得 (m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。這與m, n, k皆為正整數矛盾。所以Z+=P∪Q。 

         2. betty定理可以得到 1/A + 1/B = 1;

           首先将所有P-position打出来 (失败的序列)

           1 2                (2-1=1)
           3 5 （3在前面没有） （5-3=2）
             4 7 （4在前面也没有 （7-4=3）
             6 10（6在前面也没有）（10-6=4）
             8 13（8在前面也没有）（15-8=5）
             9 15   
           11 18
           12 20
           14 23
           16 26
           17 28
           19 31
           ...............

           根据betty定理，对于1/A+1/B=1，必有

           Ua={trunc(A*k),k为正整数} Ub={trunc(B*k),k为正整数} 
           Ua与Ub的并集构成正整数集且Ua于Ub不相交

           所以设某个必败态的第一项为trunc(A*k)，第二项为trunc(A*k+k)=trunc((A+1)*k)

           则1/A+1/(A+1)=1，求得A为(sqrt(5)+1)/2;

代码：

#include<cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const double root = (sqrt(double(5))+1)/2;

int n, m;

int main()
{
// freopen("input.txt","r",stdin);
 while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
 {
  if(n > m)
  {
   int t =n;
   n = m;
   m = t;
  }
  if(m ==(int)((int(n/root)+1)*(root+1)) )
   printf("0\n");
  else
   printf("1\n");
 }

 return 0;
}