[leetcode] 279. Perfect Squares 解题报告

题目链接：https://leetcode.com/problems/perfect-squares/

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

思路：刚开始想到可以用动态规划来解，一个数可以划分为多少个平方数和可以由分解这个数为另外两个已知的更小的数状态决定。比如0 + 5 = 5, 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5;

即：

dp[i] = min(dp[i], dp[j] + dp[k]); // i = j + k

这样就可以将现有问题转化为已知问题。这种方式需要遍历每一种 j + k = i的每一个组合，因此时间复杂度为O(n*n)，n到6000+就超时了，无法过掉所有测试数据。

代码如下：

class Solution {public:    int numSquares(int n) {        if(n <= 0)  return 0;        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);        int k = sqrt(n);        for(int i = 1; i <= k; i++)//首先直接求出直接可以平方的数            dp[i*i] = 1;        for(int i = 2; i <= n; i++)        {            for(int j = 1; j < i; j++)//遍历每一种j + k = i的组合                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + dp[i-j]);        }        return dp[n];    }};

上面的方式包含了很多重复的计算, 一种更好的方法是要求dp[i] 可以用dp[i] = min( dp[i- j*j] + 1, dp[i]), 这样是把问题转换为去掉一个数的平方之后的数是由几个平方数构成.

代码如下:

class Solution {public:    int numSquares(int n) {        if(n <= 0) return 0;        vector<long> dp(n+1, INT_MAX);        dp[0] = 0;        for(int i = 1; i <=n; i++)            for(int j =0; j*j <= i; j++)                dp[i] = min(dp[i-j*j]+ 1, dp[i]);        return dp[n];    }};

还有一种数学的方法，利用一些已知的定理，四平方和定理，如果一个数有因子4，那么去掉4因子之后并不影响其平方和性质。如果一个数除余8等于7，那么其是由4个数平方构成。

以前我也没听说这个定理，数学捉急啊！

运行时间为8 ms，数学的力量真是吊。

代码如下：

class Solution {public:    int numSquares(int n) {        while(n%4 == 0) n/=4;        if(n%8 == 7) return 4;        for(int a = 0; a*a <= n; a++)        {            int b = sqrt(n-a*a);            if(a*a + b*b == n)            {                return !!a + !!b;            }        }        return 3;    }};

四平方参考：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4800552.html