bzoj1856 字符串 组合数学
来源:互联网 发布:html与java关系 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 18:34
果然是神题。。。数形结合。。。
看到这道题,第一反应是把0看成-1,这样就变成前缀和>0了。其实也想到了把这个字符串转化成1条折线,即从(0,0)出发,经过n+m步,每一步不是向右上走一格就是向右下走一格,要求不能到x轴的下方,求到达点(n+m,n-m),但是接下来的就比较巧妙了,确实想不到。(也可以见=>http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3443689.html)
首先求出总方案C(n+m,n),如果一条线不合法,那么它一定是走到x轴下方了。那么可以想到,它一定经过直线y=-1。如果将这条直线第一次与y=-1相交的点的前半部分以直线y=-1为对称轴翻折,则这条直线的起点变为(0,-2),而这条直线就相当于从点(0,-2)到(n+m,n-m)的一条直线了。显然,从(0,-2)->(n+m,n-m)的直线与不合法的直线是一一对应的。而从(0,-2)->(n+m,n-m)的直线必然有n+1次向右上走,m-1次向右下走。因此,在本题中不合法字符串的总数就相当于:有n+1个1,m-1个0的字符串总数(不管合法不合法),这个值等于C(n+1+m-1,n+1)=C(n+m,n+1)。
因此,本题的答案为C(n+m,n)-C(n+m,n+1)。注意到取模的数p=20100403为质数,因此由费马小定理,x^(p-1)≡1(mod p)得x^(-1)≡x^(p-2)(mod p)。
AC代码如下:
#include<iostream>#include<cstdio>#define ll long long#define mod 20100403using namespace std;ll n,m;ll ksm(ll x,ll y){ll base=x,sum=1;while (y){if (y&1) sum=sum*base%mod;base=base*base%mod; y>>=1;}return sum;}ll fac(ll x){ll i,sum=1;for (i=1; i<=x; i++) sum=sum*i%mod; return sum;}ll cbn(ll x,ll y){return fac(x)*ksm(fac(x-y)*fac(y)%mod,mod-2)%mod;}int main(){scanf("%lld%lld",&n,&m);printf("%lld\n",(cbn(n+m,n)-cbn(n+m,n+1)+mod)%mod);return 0;}
by lych
2016.1.3
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