离散--第二节--证明方法

直接证明法

做法证明“若A为真,则B为真”
理由 “若A为真,则B为真” “AB为真”
例1若n是奇数,则n2也是奇数.
证 存在kN,n=2k+1.于是,
n2 = (2k+1)2
= 2(2k2+2k)+1
得证n2是奇数.
间接证明法
做法 证明“ ¬B¬A”为真
理由 “AB为真” “ ¬B¬A为真”
例2若n2是奇数,则n也是奇数.
证 用间接证明法.只要证:若n是偶数,则n2也是偶数.
假设n是偶数,则存在kN,n=2k.于是,
n2 = (2k)2
= 2(2k2)
得证n2是偶数.

归谬法(反证法)  先假设，然后证假设是矛盾的。所以原来的就是对的
做法 假设A真并且¬B真,推出矛盾,即证明:A¬B0
理由 A¬B0为真
 A¬B为假
 A为假或B为真
 AB为真
例3若A-B=A,则AB=
证 用归谬法,假设AB,则存在x,使得
xAB xAxB xA-BxB(A-B=A)
 xAxBxB xBxB,矛盾

例4证明 是无理数
证 假设 是有理数, 存在正整数n,m, 使得 =m/n,
不妨设m/n为既约分数. 于是m=n, m2=2n2, m2是偶数,
从而m是偶数. 设m=2k,得 (2k)2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也
是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.
间接证明法是归谬法的特殊形式: ¬B  ¬A, A¬A0

穷举法(分情况证明法)
推理AB,其中A=A1A2…Ak.
做法 证明A1B, A2B,…,AkB均为真
理由 A1A2…AkB
 ¬(A1A2…Ak)B
 (¬A1¬A2…¬Ak)B
 (¬A1B)(¬A2B)…(¬AkB)
 (A1B)(A2B)…(AkB)
例5证明:max(a, max(b,c))=max(max(a,b),c)
构造证明法
推理AB,其中B是存在具有某种性质的客体
做法 在A为真的条件下,构造出具有这种性质的客体
例6对于每个正整数n,存在n个连续的正合数.
证 令x=(n+1)!
则 x+2,x+3,…,x+n+1是n个连续的正合数:
i |x+i,i=2,3,…,n+1

空证明法与平凡证明法
空证明法(前件假证明法)
做法 证明“ A恒为假”
理由 “ A恒为假”  “AB为真”
例如,“是任何集合的子集”(定理1.1)的证明
平凡证明法(后件真证明法)
做法 证明“ B恒为真”
理由 “ B恒为真”  “AB为真”
例如,若ab,则a0b0.
常在归纳证明的归纳基础中出现


命题为假的证明——举反例
例7 判断下述命题是真是假:
若AB=AC,则B=C.
解 反例:取A={a,b},B={a,b,c},C={a,b,d},有
AB=AC= {a,b}
但BC,故命题为假.

数学归纳法的步骤
(1)归纳基础证P(n0)为真
(2)归纳步骤x(xn0),假设P(x)为真,证P(x+1)为真.
称“ P(x)为真”为归纳假设
例8证明:对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2
证 归纳基础.当n=1时, 1=1(1+1)/2,结论成立.
归纳步骤.假设对n1结论成立,则有
1+2+ … +n+(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1) (归纳假设)
= (n+1)(n+2)/2
得证当n+1时结论也成立.

注意:归纳基础与归纳步骤两者缺一不可
反例1命题 n1, 21+22++ 2n= 2n+1
证 假设n1,结论成立,则
21+22++ 2n+2n+1= 2n+1+2n+1 = 2n+2
对n+1结论成立,故命题成立.

第二数学归纳法
归纳基础 证明P(n0)为真
归纳步骤 x(xn0),假设P(n0),P(n0+1),…,P(x)为真,
证P(x+1)为真.
归纳假设 y(n0yx),P(y)为真
例9任何大于等于2的整数均可表成素数的乘积
证 归纳基础. 对于2,结论显然成立.
归纳步骤.假设对所有的k(2kn)结论成立,要证结论
对n+1也成立.若n+1是素数,则结论成立;否则n+1=ab,
2a,b<n.由归纳假设,a,b均可表成素数的乘积,从而n+1
也可表成素数的乘积.得证结论对n+1成立.