概率论--第二章

2.1 随机变量及其分布函数

一、随机变量
二、分布函数

例1   抛一枚硬币,观察正面1,反面2出
现的情况:

随机变量常用X、Y 或、等表示

定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.

二、分布函数

对随机变量的概率分布情况进行刻画 

分布函数

2.2 离散型随机变量及其分布律

一、离散型随机变量
二、常见离散型分布

        如果随机变量X只能取有限个或可列无限多个不同可能值,则称X 为离散型随机变量

二、常见离散型分布

1. (01)分布

称X服从(01)分布或两点分布

2.二项分布 

可见, (01)分布是n=1时的二项分布 

3.泊松分布 

泊松定理:对于二项分布B(n,p),当n充分大, p又很小时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式:    实验次数足够大，概率足够小的时候。

设每次试验事件A 发生的概率为p，另X是n次试验中A发生的次数，  X--B(N   一共  N 次试验   ,P   A发生的概率).   X-B(NP,)

X是n次试验中A发生的次数

A 发生的概率为p

4.几何分布： X ~ G(p)

几何分布律的意义：

       n重贝努里试验中，若试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p（0<p<1),若试验进行到第X次才成功,此时X的分布律满足几何分布.

5.超几何分布

 对某批N 件产品进行不放回抽样，若这
批产品中有M件次品，现从整批产品中随机
抽出n 件产品，则在这n 件产品中出现的次品
数 是随机变量， 它取值0，1，2，3，…，
n，其概率分布为超几何分布

2.3  连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量
二、常见连续型分布

          设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x), 使得对于任意实数x,有 

对连续型随机变量X和任意实数a,
       总有P(X=a)=0 

即, 取单点值的概率为0 

P(A)=0  不能推出   A是不可能事件 

连续型随机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关 。

二、常见连续型分布

1. 均匀分布 

概率密度函数，

2. 指数分布 

影响高度的那字字母    准则

这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.

      3影响高度的那字字母    准则。

2.4 随机变量函数的分布

       讨论如何根据已知的随机变量X的分布,去求它的函数Y=g(X)的分布 

一、离散型随机变量函数的分布 

二、连续型随机变量函数的分布 

一、离散型随机变量函数的分布 

二、连续型随机变量函数的分布

求Y=g(X)的概率密度的一般方法(分布函数求导法):

        由分布函数的定义,先求Y=g(X)的分布函数: