概率论与数理统计笔记 第二章 随机变量及其概率分布

概率论与数理统计笔记（计算机专业） 作者： CATPUB 新浪微博：@catpub

课程：中国大学MOOC浙江大学概率论与数理统计

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第9讲 随机变量

• 定义

  • 随机变量 X(e)，X 是 S→R 的函数，e 是样本点
  • 自变量 e⊂S
  • 随机事件 A={e|X(e)=I}={X=I}
  • 如多次投掷骰子，随机事件 {6点在第3次出现} 可以记作 X=3，X 是随机变量

• 随机变量

  • 离散型随机变量，值的集合的基数小于等于阿列夫零（离散数学概念）
  • 连续型随机变量

• 分布律

  • X x1 x2 ... xk ... P p1 p2 ... pk ...

  • P(X=xk)=pk (k=1,2,...)

• 几何分布 Geometric Distribution

  • 多次投掷骰子，6​ 点第一次出现时投掷的次数

  • X 1 2 3 ... k ... P
    16
    56⋅16
    (56)2⋅16
    ...
    (56)k−1⋅16
    ...

  ​

第10讲 离散型随机变量

• 0-1分布（两点分布）

  • P(X=k)=pk(1−p)n−k

  • X 0 1 P 1−p 1−p

  ​

  • 若X服从两点分布，则单次试验称为伯努利（Bernoulli）试验

  • 0

  记为X∼0-1(p)

  • 也记为 X∼B(1,p)​，B​ 是Binomial的意思，两点分布可以看作Binomial分布的特例

  • ∼ 读作服从于

• 二项分布 Binomial Distribution

  • P(X=k)=Ckn⋅Pk⋅(1−p)n−k
  • n 重Bernoulli实验，事件发生次数 k 的统计规律
  • 记为X∼B(n,p)

• 泊松分布 Poisson Distribution

  • P(X=k)=λke−λk! (k=0,1,2,...)
  • 记为 X∼π(λ) 或 x∼P(λ)

• Poisson Distribution与Binomial Distribution的关系

  • 当 n 很大 p 很小的时候
  • CknPk(1−p)n−k=λke−λk! λ=np

• 几何分布 Geometric Distribution

  • P(X=k)=p(1−p)k−1
  • 记为 X∼Geom(p)
  • 实例：研究段誉多少次施展武功能成功的统计规律

第11讲 分布函数

• 定义
  
  • FX(x)=P(X≤x)
• 离散型的随机变量分布函数为阶梯函数
• 性质
  
  • P(a<X≤b)=F(b)−F(a)
  • P(a<X<b)=F(b−0)−F(a)
  • P(X=b)=F(b)−F(b−0)
  • F(x) 单调不减
  • F(−∞)=0,F(+∞)=1
  • F(x) 右连续

第12讲 连续性随机变量及其概率密度

• 定义
  
  • F(x)=∫x−∞f(t)dt
  • F(x) 为连续型随机变量的分布函数
  • f(t) 为连续型随机变量的概率密度函数
  • 若一个随机变量有概率密度函数则其一定为随机变量
• 性质
  
  1. f(x)≤0
  2. F(+∞)=1
  3. P(x1<X<x2)=∫x2x1f(t)dt
  4. F′(x)=f(x)
  5. f(x)
     可以大于1
  6. 概率密度对 >,≥,<,≤ 不敏感，即对端点取值不敏感

第13讲 均匀分布和指数分布

• 均匀分布 Uniform Distribution
  
  • f(x)=1b−a a≤x<b
  • F(x)=x−ab−a a≤x<b
  • 记为 X∼U(a,b) 或 X∼Unif(a,b)
• 指数分布 Exponential Distribution
  
  • f(x)=λe−λx x>0
  • F(x)=1−e−λx x>0
  • 记为 X∼E(λ) 或 X∼Emp(λ)
  • 指数分布具有无记忆性（Memoryless Property）且在连续性随机变量的分布中，只有指数分布具有无记忆性
  • 实例：设旅客等待时间服从指数分布，则已知旅客已经等了20分钟，求旅客再等5分钟的概率，和旅客从头开始等5分钟的概率相同
  • 即 P(X>25|X>20)=P(X>5)
  • 指数分布常用来表示独立随机事件发生的时间间隔，如中文维基百科新条目出现的时间间隔
  • 在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短也可以用指数分布来近似

第14讲 正态分布

• 正态分布 Normal Distribution
  
  • f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
  • 记为 X∼N(μ,σ2)
• 性质
  
  • 关于 x=μ 对称
  • fmax=f(μ)=12π−−√σ
  • limf(x)=0
• 参数的性质
  
  • 改变 μ，f(x) 只沿 x 轴评议
  • σ 越大，f(x) 越矮胖，σ 称为尺度参数
• 实例：身高，体重，测量误差，多个随机变量的和
• 标准正态分布
  
  • Z∼N(0,1)
  • ϕ(z)=12π−−√e−z22
  • Φ(z)=∫z−∞12π−−√e−t22dt
  • Φ(z) 有标准正态分布函数表
• 一般正态分布转为标准正态分布
  
  • 当 X∼N(μ,σ2) 时，(x−μ)/σ∼N(0,1)
  • Fx(a)=P(x≤a)=P(x−μσ≤a−μσ)=Φ(a−μσ)
• 3σ 准则
  
  • 当 x 落在 (−3σ,3σ) 的概率为 99.73%

第15讲 随机变量函数的分布

• 已知 X 的概率分布，已知 Y=g(x)，求 Y 的概率分布

  • 先给出 Y 的可能分布，再利用等价事件来给出概率分布
  • 离散型随机变量，直接利用分布律求解即可
  • 连续型随机变量，先利用分布函数找到等价事件，再利用概率密度函数即可

• 定理

  • 若 Y=g(x)，g′(x)>0 或 g′(x)<0
  • fY(y)=fx(h(y))⋅|h′(y)| α<y<β
  • h(y) 是 g(x) 的概率密度函数的反函数
  • α 和 β 是根据 x 与 y 的对应关系求得的

• 一般的

  • 若 X∼N(μ,σ2)，Y=aX+b，则 Y∼(aμ+b,a2σ)

  作者拓展

  • 当前的所有分布
  • 二项分布 Binomial Distribution
  • 泊松分布 Poisson Distribution
  • 几何分布 Geometric Distribution
  • 均匀分布 Uniform Distribution
  • 指数分布 Exponential Distribution
  • 正态分布 Normal Distribution