第三讲 多重背包问题 HD 2191 悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活

悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活

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Problem Description

急！灾区的食物依然短缺！
为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。
请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

后记：
人生是一个充满了变数的生命过程，天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福，未来对于我们而言是一个未知数。那么，我们要做的就应该是珍惜现在，感恩生活——
感谢父母，他们给予我们生命，抚养我们成人；
感谢老师，他们授给我们知识，教我们做人
感谢朋友，他们让我们感受到世界的温暖；
感谢对手，他们令我们不断进取、努力。 
同样，我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富～

 

Input

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

 

Output

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

18 22 100 44 100 2

 

Sample Output

400

 

基本算法

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

O(VN)的算法

将这个 多重背包问题转化为 完全背包问题，也就是每个物品都有无限个，但是在循环过程中用一个数组记录：某种硬币i使用的次数，如果使用次数超过c［i]，则停止循环。恩，大意如此，时间复杂度就是O(n*m)，终于AC。

O(V*Σn[i])算法：

#include<iostream>//c++#include<cmath>//数学公式#include<cstdlib>//malloc#include<cstring>#include<string>#include<cstdio>//输入输出#include<algorithm>//快排#include<queue>//队列#include<functional>//优先队列#include<stack>//栈#include<vector>//容器#include<map>//地图  if continuetypedef long long ll;const  int N=105;using namespace std;int label[N];int dp[N];int main(){//    freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);int i,j,k;int v,n,text;int a,b,c;cin>>text;while(text--){    memset(dp,0,sizeof(dp));    cin>>v>>n;    for(i=0;i<n;i++)        {            cin>>a>>b>>c;//a->v    b->w   c->n            for(k=0;k<c;k++)            for(j=v;j>=a;j--)                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a]+b);        }        cout<<dp[v]<<endl;}return 0;}

O(V*Σlog count[i])写法（二进制优化）

#include<iostream>//c++#include<cmath>//数学公式#include<cstdlib>//malloc#include<cstring>#include<string>#include<cstdio>//输入输出#include<algorithm>//快排#include<queue>//队列#include<functional>//优先队列#include<stack>//栈#include<vector>//容器#include<map>//地图  if continuetypedef long long ll;const  int N=105;using namespace std;int label[N];int dp[N];int main(){//    freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);int i,j,k;int v,n,text;int a,b,c;cin>>text;while(text--){    memset(dp,0,sizeof(dp));    cin>>v>>n;    for(i=0;i<n;i++)        {            cin>>a>>b>>c;//a->v    b->w   c->n            for(k=1;k*2<1+c;k*=2)//1 2 4 8             for(j=v;j>=a*k;j--)                dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*a]+k*b);            k = c + 1 - k;            for(j=v;j>=a*k;j--)                dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*a]+k*b);          }        cout<<dp[v]<<endl;}return 0;}

最优的O(VN)的算法：（个人思想，还有待改进，你可以玩玩）

#include<iostream>//c++#include<cmath>//数学公式#include<cstdlib>//malloc#include<cstring>#include<string>#include<cstdio>//输入输出#include<algorithm>//快排#include<queue>//队列#include<functional>//优先队列#include<stack>//栈#include<vector>//容器#include<map>//地图  if continuetypedef long long ll;const  int N=105;using namespace std;int label[N];int dp[N];typedef struct{    int a,b,c;    double d;}G;G g[105];bool cmp(G a,G b){    return a.d>b.d;}int main(){//    freopen("C:\\Users\\ch\\Desktop\\1.txt","r",stdin);<span style="white-space:pre"></span>//freopen("C:\\Users\\lenovo\\Desktop\\2.txt","w",stdout);<span style="white-space:pre"></span>int i,j,k;<span style="white-space:pre"></span>int v,n,text;    int a,b,c;    cin>>text;    while(text--)    {        memset(dp,0,sizeof(dp));        cin>>v>>n;        for(i=0;i<n;i++)    cin>>g[i].a>>g[i].b>>g[i].c,g[i].d=1.0*g[i].b/g[i].a;//a->v      b->w   c->n        sort(g,g+n,cmp);//排 序        int ans=0;        for(i=0;i<n;i++)        {            memset(label,0,sizeof(label));            for(j=g[i].a;j<=v;j++)            if(label[j-g[i].a]<g[i].c)            {                if(dp[j]<dp[j-g[i].a]+g[i].b)                {                    dp[j]=dp[j-g[i].a]+g[i].b;                    label[j]=label[j-g[i].a]+1;                    ans=max(dp[j],ans);                }            }        }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}

例题：http://poj.org/problem?id=1742

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;bool can_pay[100005]; int use_ai[100005];    int Ai[105], Ci[105];int n, m, ans;int coins();int main(){int i;while(scanf("%d%d", &n, &m), n || m){memset(can_pay, false, sizeof(can_pay));can_pay[0] = true;for(i = 0; i < n; ++i)scanf("%d", &Ai[i]);for(i = 0; i < n; ++i)scanf("%d", &Ci[i]);        coins();}return 0;}int coins(){    int i, j;    ans = 0;    for(i = 0; i < n; ++i)    {        memset(use_ai, 0, sizeof(use_ai));        for(j = Ai[i]; j <= m; ++j)        {                if(!can_pay[j] && can_pay[j - Ai[i]] && use_ai[j - Ai[i]] < Ci[i])                {                    can_pay[j] = true;                    use_ai[j] = use_ai[j - Ai[i]] + 1;                    ++ans;                }        }    }    printf("%d\n", ans);    return 0;}