求多项式相加的迭代算法

问题描述：

假设有n+2个实数a0，a1，…，an,和x的序列，要对多项式   

           

        求值，直接方法是对每一项分别求值，并把每一项求的值累加起来，这种方法十分低效，它需要进行n＋(n－1)＋…＋1＝n(n＋１)/2次乘法运算和n次加法运算。

        通过如下变换我们可以得到另一种算法，即Pn(x) =

                    （1） 

        该算法称之为秦九韶或者霍纳算法，就是通过提取公因式x来减少乘法的次数，减少的乘法次数为(n-1)+(n-2)+……+1 = n(n-1)/2,所以一共只需要做(n+1)n/2 - (n-1)n/2 = n次乘法和n次加法就可以了。对于计算机来说，做加法比做乘法快得多，所以效率的提高是很大的。

程序实现

实现秦九韶算法最关键的是要注意迭代式的求法，我们观察（1）式可以发现，外面的式子就是里面的式子加上小一阶的系数再乘上x得到的，所以我们可以得到p(n) = an-1+p(n)x. c语言代码如下：

//a[]表示储存系数a0到an的数组，n是数组的大小，也是项数double PloyAdd(double a[], int n, double x){    double res = 0.0;     for(int i=n; i>=0; --i)        res = x*res + a[i];     return res;}