【bzoj2154/2693】Crash的数字表格/jzptab 莫比乌斯反演

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122

【数据规模和约定】

100%的数据满足N, M ≤ 107。

HINT

Source

数论

---

题目贴的2154，代码贴的2693，我就喜欢这样不服你打我啊QwQ

求

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)

设f(n)=1n，是积性函数。设f(n)=∑d|nF(d)，那么F(n)=∑d|nμ(d)∗f(nd)。

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)

=∑i=1n∑j=1mi∗j∗f(gcd(i,j))

=∑i=1n∑j=1mi∗j∑d|i d|jF(d)

=∑d<=min(n,m)F(d)∗∑i<=n∑j<=mi∗j[d|i and d|j]

=∑d<=min(n,m)F(d)∗d∗d∑i<=n/d∑j<=m/di∗j

=∑d<=min(n,m)F(d)∗d∗d∗SUM(⌊nd⌋,⌊md⌋)

其中：

SUM(n,m)=n∗(1+n)2∗m∗(1+m)2

这是等差数列求和，可以O(n√)回答。

这样只需要预处理F∗id∗id。

设h=F∗id∗id。
h(n)=n2∗∑d|nμ(d)∗f(nd)=n2∗∑d|nμ(d)∗dn=n∑d|nμ(d)∗d。

当n是质数还有互质的时候很容易推出。

不互质时，此时n不是square free number，μ(n)=0，所以对∑d|nμ(d)∗d无影响，所以只需要乘p即可。（当然打表找规律大法好）

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int SZ = 10000010;const int MAXN = 10000000;const int mod = 100000009;int h[SZ];int sum_h[SZ];bool vis[SZ];int pri[SZ];void shai(){    h[1] = 1;    for(int i = 2,tot = 0;i <= MAXN;i ++)    {        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i,h[i] = (i - ((LL)i * i) % mod) % mod;        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= MAXN;j ++)        {            vis[m] = 1;            if(i % pri[j] == 0) { h[m] = ((LL)pri[j] * h[i]) % mod; break; }            else h[m] = ((LL)h[pri[j]] * h[i]) % mod;        }    }    for(int i = 1;i <= MAXN;i ++)        sum_h[i] = (sum_h[i - 1] + h[i]) % mod;}int sum(int n,int m){    n %= mod; m %= mod;    int a = (((LL)n * (n + 1)) >> 1) % mod;    int b = (((LL)m * (m + 1)) >> 1) % mod;    return ((LL)a * b) % mod; }int ask(int n,int m){    int ans = 0;    for(int i = 1,r;i <= min(n,m);i = r + 1)    {        r = min(n / (n / i),m / (m / i));        ans = (ans + ((LL)(sum_h[r] - sum_h[i - 1]) * sum(n/i,m/i)) % mod) % mod;    }    return (ans % mod + mod) % mod;}int main(){    int T,n,m;    scanf("%d",&T);    shai();    while(T --)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%d\n",ask(n,m));    }    return 0;}