catalan数

catalan数是组合数学中计算问题的一种数列。

设h(0)=h(1)=1，它满足递推式：
h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+……+h(n-1)h(0)  (n>=2)

另类递归式：

通项公式（解）：   (n=1,2,3……)

相关问题：

hdu 1023 Train Problem II

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1023

大意：N个火车按编号升序进站，问出栈的序列个数。

分析：设出栈的方案数是h(n)。这样设想，最后一辆火车在n-1辆火车出来后只有它自己，出来的情况数是1，讨论那n-1辆火车。把n-1辆火车出来的情况看做一个整体，即h(0)h(n-1)，把n-1辆火车分成1+n-2，出来的情况是h(1)h(n-2)，这样说来还可以把n-1辆火车分成h(2)h(n-3)……分成h(n-1)h(0)。即catalan数。

N可以达到100，由解的表达式可以知道，这涉及到大数。

import java.math.BigInteger;import java.util.*;public class Main {    public static BigInteger get(int n){        BigInteger ans=BigInteger.ONE;        while(n>0){            ans=ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));            n--;        }        return ans;    }    public static void main(String[] args) {        Scanner cin=new Scanner(System.in);        int n;        while(cin.hasNext()){            n=cin.nextInt();            BigInteger p1=get(2 * n);            BigInteger p2=get(n);            BigInteger p3=p2.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));            System.out.println(p1.divide(p2).divide(p3));        }    }}

以此题为背景，阅读了一下其他资料，理解了通项公式（解）的由来：
参考资料：

殊途同归--catalan数的几种解法 

浙江省镇海中学 贺洪鸣

例1： 

在平面直角坐标线中，从(0,0)点走到(n,n)点，规定只能向上或向右走，且不能穿过直线y=x到达它的上方，共有几种走法？ 

  

  

（图一，画一条Y-X的分界线限定组合情况Y不能大于X，这是本质！即相当于火车出站出栈的个数不能大于入站的个数）

解：

如图1所示，从A(0,0)点出发至B(n,n)点，不穿过直线y=x的走法数，等于从A点出发至B点的总走法数，减去从A点出发至B点并穿过直线y=x的走法数。 

从A点出发至B点的总走法数，相当于从2n步的决策中，任选n个向上的方案数，它等于C(2n,n)

对于每一个从A点出发至B点并穿过直线y=x的走法，必然存在第一次穿过直线y=x从而到达直线y=x+1中的点P，我们将从A至P的路径沿直线y=x+1对称反转，得到一条从A’(-1,1)至B的路径。 

对于每一个从A’至B的走法，必然会到达直线y=x+1，我们找到第一次到达直线y=x+1时的点P，将A’至P的路径沿直线y=x+1对称反转，得到一条从A出发穿过直线y=x到达点B的路径。 

因此，每一条从A至B且穿过直线y=x的路径，一一对应着一条从A’出发至B的路径。这种路径数相当于从2n步决策中，选择任意的n-1步向上走，走法数为C(2n,n-1)

   综上所述，从A至B不穿过直线y=x的走法数C(2n,n)-C(2n,n-1)=C(2n,n)/(n+1)