斐波那契数列与黄金分割比以及矩阵形式推导

数学上，斐波那契数列以递归的形式进行定义：

 F 0 =0F 1 =1F n =F n−1 +F n−2   

注意，递归的形式实现较为简单明了，当然在编程实践时，并不推荐递归的实现方式，因为存在大量的重复计算，斐波那契的优化实现不是本文的重点，如有兴趣，请参阅 每周一刷——从斐波那契数列到动态规划，本文重点探讨菲波那切数列与黄金分割比的关系。

维基百科中说菲波那切数列又叫黄金分割数列，这无疑是在告诉我们我们可以通过黄金分割的方式（5  √ −12  ）生成出来一个菲波那切数列。

下面我们简单验证我们的判断：

def fib(n):    return n if n <= 1 else fib(n-1)+fib(n-2) N = 20print([fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]

所谓黄金分割比，一种猜想：F n =F n−1 (1+5  √ −12 ) ：

int(55*(1+.618)+.5) == 89int(2584*(1+.618)+.5) == 4181

indeed，诚哉斯言。

我们接着做如下的仿真：

def gold_fib(n):    return n if n <=2 else int(gold_fib(n-1)*(1+.618))print([gold_fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182]                                # 已经非常接近了，

矩阵形式推导

还是从定义出发：

 a 0 =0a 1 =1a n =a n−1 +a n−2   

将其转换为矩阵形式：

(F n+2 F n+1  )=(1,1, 10 )⋅(F n+1 F n  ) 

无所不在的矩阵形式呀，这是矩阵形式的递归版（是不是可以说，递归形式都可转化为矩阵的连乘版）；

(F n+1 F n  )=(1,1, 10 ) n (10 ) 

或者全部使用矩阵形式：

(F n+1 ,F n , F n F n−1  )=(1,1, 10 ) n  

求下述矩阵的特征值：

(1,1, 10 ) 

λ(λ−1)−1=0 ，解得 λ 1 =1+5  √ 2 ,λ 2 =1−5  √ 2  
求得各自特征值对应的特征向量为：

α ⃗  1 =⎛ ⎝ 12 (1+5  √ )1 ⎞ ⎠ α ⃗  2 =⎛ ⎝ 12 (1−5  √ )1 ⎞ ⎠  

通过 α ⃗  1 ,α ⃗  2  对 [1,0] T  线性表示为：

(10 )=15  √  α ⃗  1 +(−15  √  )α ⃗  2  

所以：

(F n+1 F n  )====== (1,1, 10 ) n (10 )(1,1, 10 ) n (a 1 α ⃗  1 +a 2 α ⃗  2 )a 1 (1,1, 10 ) n α ⃗  1 +a 2 (1,1, 10 ) n α ⃗  2 a 1 λ n 1 α ⃗  1 +a 2 λ n 2 α ⃗  2 15  √  (1+5  √ 2 ) n ⎛ ⎝ 1+5  √ 2 1 ⎞ ⎠ +(−15  √  )(1−5  √ 2 ) n ⎛ ⎝ 1−5  √ 2 1 ⎞ ⎠ 15  √  ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ (1+5  √ 2 ) n+1 −(1−5  √ 2 ) n+1 (1+5  √ 2 ) n −(1−5  √ 2 ) n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟   

所以最终：

F n =15  √  [(1+5  √ 2 ) n −(1−5  √ 2 ) n  ] 

通过初等代数方法，我们也可得出此解析解的形式，具体请参考 斐波那契数列；

def matrix_fib(n):    return int(1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n))print([matrix_fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]                                # 一模一样，不差分毫