LeetCode 132. Palindrome Partitioning II （C++)

题目描述
Given a string s, partition s such that every substring of the partition is a palindrome.
Return the minimum cuts needed for a palindrome partitioning of s.
For example, given s = “aab”,
Return 1 since the palindrome partitioning [“aa”,”b”] could be produced using 1 cut.

解题思路
首先想到的是动态规划，其次想想可否暴力求解。但是动态规划的题用暴力求解通常会超时或者超内存，事实上我在做的时候，复杂度高的动态规划仍然会超时。这道题的测试用例确实很棒，对算法复杂度要求很高。下面先从高复杂的的代码说起，逐步得到“正确”的代码。
解法一（超时）：二维动归+遍历

1. 求回文串：逆序判断等（非动态规划）
2. 求切割数：s的子串s(i,j)： s[i]…s[k-1] | s[k]…s[j]
   从s[k-1]和s[k]之间分割为两部分，则s(i,j)如果不是回文串，则其最小分割的就是找一个合适的k，并在k处分割。这个合适的k需要在i到j直接遍历寻找，这就是动态规划中的遍历操作。递归方程如下：
   f(i,j) = min { f(i,k-1) + f(k,j) } if s(i,j)不是回文
   f(i,j) = 0 if s(i,j)是回文
   上式中，s(i,j)表示s的从i到j的子串，f(i,j)表示子串s(i,j)的最小切割数。注意递归式中等式的左边有两个参数，说明是需要二维动态规划，等式右边有min求最小值，说明需要遍历，此即为二维动归+遍历，代码非常容易写。
3. 复杂度为O(n^3)

class Solution {public:    int minCut(string s) {    int n=s.length();    //二维数组，初值设为0，多增加一个空间，以防越界    vector<vector<int> > f(n+1,vector<int>(n+1,0));     //以子串长度为递归条件    for(int l=2;l<=n;l++)    {        for(int i=0;i<=n-l;i++)        {            int j=i+l-1;            //求字符串是否为回文串            string s1=s.substr(i,l);//i为起始位置，l为长度            string s2(s1.rbegin(),s1.rend());//构造逆序串            if(s1==s2)f[i][j]=0;            //如果不是回文串则遍历求最小切割数            else            {                f[i][j]=n;//初始化为最大值                for(int k=i+1;k<=j;k++)//注意作开右闭                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k][j]+1) ;            }        }    }    return f[0][n-1];//从0开始   }};

解法二（Accept）：

1. 求回文串：动态规划
   s(i,j)为回文串，当且仅当s[i]=s[j]，并且s(i+1,j-1)是回文串。用递推方程表示为：d(i,j)=true , if s[i]=s[j]&&s(i+1,j-1)是回文串。

2. 求切割数：一维动归+备忘录
   备忘录就是提前将s(i,j)是否为回文串记录在一个数组中，供动态规划查找。
   动态规划采用一维+遍历方式，递推方程如下：
   f(j)=min{f(j),f(i-1)+1} ，0<=i<=j，并且s(0,j)不是回文串
   f(j)=0 if s(0,j)是回文串
   f(j)表示s(0,j)的最小切割数。
   s的子串s(0,j) : s[0]…s[i-1] | s[i]…s[j]

3. 时间复杂度O(n^2).

class Solution {public:    int minCut(string s) {    int n=s.length();    //回文字串备忘录，记录是子串是否为回文串，初值为false    vector<vector<bool> > p(n+1,vector<bool>(n+1,false));    for(int j=0;j<n;j++)    {        for(int i=j;i>=0;i--)            p[i][j]=p[i][j]||(s[i]==s[j]&&(j-i<=1||p[i+1][j-1]));    }    vector<int> f(n+1,0);    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=i;    for(int j=0;j<n;j++)//正序递归    {        for(int i=j;i>=0;i--)//逆序递归        {            if(p[i][j])            {                if(i==0) f[j]=0;                else f[j]=min(f[j],f[i-1]+1);            }        }    }    return f[n-1];    }};