Vijos 1943-上学路上【组合数学】

P1943上学路上

未递交

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描述

小雪与小可可吵架了，他们决定以后互相再也不理对方了。尤其是，他们希望以后上学的路上不会再相遇。

我们将他们所在城市的道路网视作无限大的正交网格图，每一个整数点 (x,y) 对应了一个路口，相邻两个整数点之间有一条平行于 x 轴或平行于 y 轴的道路，其道路长度为 1。已经知道小雪家住在 (x_1,0) 处的路口附近，小可可的家住在 (x_2,0) 处的路口附近。另外我们还知道，小雪的学校在 (0,y_1) 处的路口附近，小可可的学校在 (0,y_2) 处的路口附近。其中保证 x_1 < x_2 且 y_1 < y_2。

因为上学不能迟到，所以小雪和小可可总是希望可以走最短路径去上学。同时为了避免见面，希望他们所选择的路线可以没有交点。

格式

输入格式

输入的第一行输入四个正整数，依次为 x_1, x_2, y_1, y_2，满足 x_1 < x_2 且 y_1 < y_2。

输出格式

在输出中，输出一个非负整数，表示可行方案的总数 ans 关于常数 10^9+7 取余后的值。

样例1

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1 2 1 2

样例输出1[复制]

3

样例2

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2 3 2 4

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60

样例3

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4 9 3 13

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16886100

限制

对于30%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=500。
对于70%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=3000。
对于100%的数据，0 < x_1,x_2,y_1,y_2<=100000。

提示

对于样例一来说，一共有三种可行方案，如下图所示。

图丢了>_<

来源

AHOI 2015

首先，从 (x, 0) 到 (0, y) 的最短路，一定是只能向左走和向上走，那么用组合数算一下方案数是 C(x + y, x), 其实就是将 y 次向上走分配到 x + 1 个横坐标上有几种情况。主要考虑组合数学的计算方法。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#define LL long long const int MaxN=200000+5,Mod = 1000000007,MN=200000;int x,y,xx,yy;LL Ans;LL Fac[MaxN];void PP(){Fac[0]=1;for(int i=1;i<=MN;i++){Fac[i]=Fac[i-1]*(LL)i%Mod;//将阶乘的结果先保存}}LL Pow(LL a,int b){LL ret=1,f=a;while(b){if(b&1){ret*=f;ret%=Mod;}b>>=1;f*=f;f%=Mod;}return ret;}inline LL Inv(LL x){return Pow(x,Mod-2);}LL C(int x,int y){return Fac[x]*Inv(Fac[y])%Mod*Inv(Fac[x-y])%Mod;}LL solve(int x,int y){return C(x+y,x);}int main(){PP();scanf("%d%d%d%d",&x,&xx,&y,&yy);Ans=(solve(x,y)*solve(xx,yy)%Mod-solve(x,yy)*solve(xx,y)%Mod)%Mod;Ans=(Ans+Mod)%Mod;printf("%lld\n",Ans);}