8623龙龙

8623 龙龙

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Description

在比赛的时候，1Y(1次AC)是很值得高兴的事情。但很多大牛总会因为很弱智的错误先WA 一次，再AC。而很多时候，这点罚时的差距使得他们与金牌无缘。弱智错误系列中最显著的就是忘记加龙龙。
龙龙外国人叫它作long long，表示64位整数，输入与输出64位整数则可以使用例如scanf("%lld", &a)与printf("%lld", a)的形式完成。很多图论和动态规划的题目中，虽然题目说最后输出的答案是32 位的整数，但中间计算的过程有时会超过int，这时我们就要使用龙龙了。
可惜的是，很多同学刚开始学写程序都是用VC的，在VC上是无法使用long long的，我们要用__int64代替，输入与输出64位整数则可以使用例如scanf("%I64d", &a)与printf("%I64d", a)的形式完成。
但是提交上OJ 的时候，如果使用GCC或G++，都只支持long long，我们在提交时又得按照上边的改回来（的确挺麻烦,窘）。
为了让知道龙龙的同学们记得使用龙龙，不知道的学习使用龙龙，下边有个很简单的函数，希望大家求出它的返回值：

long long H(int n){    long long res = 0;    int i;    for(i = 1; i <= n; i=i+1 ){        res = (res + n/i);    }    return res;}

不过直接使用这个函数是会超时的，必须改造这个函数，当然这一定难不到未来的编程高手——你

输入格式

第一行是数字T(T<=1021)表示case数，接下来T 行，每行一个整数n，n是一个32 位整数（保证可以由int 表示）。

输出格式

函数返回值。

输入样例

2
5
10

输出样例

10
27

题解

  这道题很容易让人进入一个误区，认为这是数学问题，可以推出一条公式。明显这里所有的变量都是整型的，就是说10/3=3而不是3.3333，所以答案应该比公式算出来要小。那么我们就发现了，不能整除的数，得到的商是跟最近一个能整除的商一样的，例如：100/100=1，100/99=1，100/98=1……100/51=1，100/50=2，那么一共有(100-50)个1相加。……100/34=2，200/33=3，接着就是(50-33)个2相加。那么怎么快速得到100,50,33……呢？显然就是100/1=100，100/2=50，200/3=33……设n/i=a，n/(i+1)=b，就有（b-a)个i相加，当然别忘了加上a，a也是结果中的一部分，那么当i>a的时候就处理完了，但是如果最后i=a,也就是一个完全平方数，如果按照原来的方式计算，加上a，再加上(b-a)个i，就重复计算了，所以，完全平方数的最后一步需要单独处理。最后时间复杂度由原来的O(n)优化成了O(√n)。

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;long long H(int n) {long long res = 0;int i;for (i = 1; i <= n; i = i + 1) {res = (res + n / i);}return res;}long long H_2(int n) {long long ret = 0;int a, b, i;for (i = 1, a = n; a > i; i++) {ret += a;b = n / (i + 1);ret += (a - b) * i;a = b;}if (a == i)ret += a;return ret;}int main() {int T, n;scanf("%d", &T);for (int kase = 0; kase < T; kase++) {scanf("%d", &n);printf("%lld\n", H_2(n));}return 0;}