noip2003加分二叉树 2008.10.30
来源:互联网 发布:java 代码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 03:41
noip2003加分二叉树 2008.10.30
顾名思义,树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划,平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的,线性的动态规划有二种方向既向前和向后,相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推,而树型动态规划是建立在树上的,所以也相应的有二个方向:
1. 根—>叶:不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多,也没有比较明显的例题,所以不在今天讨论的范围之内。
2.叶->根:既根的子节点传递有用的信息给根,完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的
加分二叉树
【问题描述】
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(l,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下:
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分+subtree的根的分数
若某个子树为空,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出;
(1)tree的最高加分
(2)tree的前序遍历
【输入格式】
第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。
第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。
【输出格式】
第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。
第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。
【输入样例】
5
57 1 2 10
【输出样例】
145
31 2 4 5
[分析]很显然,本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分,则动态方程可以表示如下:
value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],
value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j],
value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],
…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j], value[j,j]+value[i,j-1]}有迪杰斯特拉的感觉
题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列,因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点,用数组root[i,j]表示
[PASCAL源程序]
{$N+}
program NOIP2003_3_Tree; const maxn=30; var i,j,n,d:byte; a:array[1..maxn]of byte; value:array[1..maxn,1..maxn]of real; root:array[1..maxn,1..maxn]of byte; s,temp:real; f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string; procedure preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}{由中序生成前序} begin if p2>=p1 then begin write(f2,root[p1,p2],' '); preorder(p1,root[p1,p2]-1); preorder(root[p1,p2]+1,p2); end; end; begin write('Input fileNo:');readln(fileNo); fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo; assign(f1,fn1);reset(f1); assign(f2,fn2);rewrite(f2); readln(f1,n); for i:=1 to n do read(f1,a[i]); close(f1); fillchar(value,sizeof(value),0); for i:=1 to n do begin value[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加分} root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点} end; for i:=1 to n-1 do begin value[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}{这个的意思就是,相邻两个节点,一个当根,一个当儿子,的最大加分,也就是他们自己的和,而此处的处理,就是让小的作为根。} root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点;需要说明的是,两个节点构成的二叉树,其根节点可以是其中的任何一个;这里选编号小的为根节点,则编号大的为其右子树;若选编号大的为根节点,则编号小的为其左子树;因此,最后输出的前序遍历结果会有部分不同,但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2,则最后输出的前序遍历结果是唯一的。} end; for d:=2 to n-1 do begin{依次计算间距为d的两个节点构成的二叉树的最大加分} for i:=1 to n-d do begin s:=value[i,i]+value[i+1,i+d];{计算以i为根节点,以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}{以i为根节点,和以i+d为根节点,它们都只有一个儿子,故不能用带有乘法的式子来计算,所以,就分开单独来算}{先算一个数,当作以后比的初始值} root[i,i+d]:=i; {记录根节点i} for j:=1 to d do begin temp:=value[i+j,i+j]+value[i,i+j-1]*value[i+j+1,i+d];{计算以i+j为根节点,以i至i+j-1间所有节点为左子树,以i+j+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分} if temp>s then begin{如果此值为最大} s:=temp;root[i,i+d]:=i+j;{记下新的最大值和新的根节点} end; end;值得学习的地方,用temp来存每次算的值,用s记录下每次的最优值,最后再赋给value[i,i+d]; temp:=value[i,i+d-1]+value[i+d,i+d];{计算以i+d为根节点,以i至i+d-1间所有节点为左子树的二叉树的最大加分}{计算以i为根节点,以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分}{以i为根节点,和以i+d为根节点,它们都只有一个儿子,故不能用带有乘法的式子来计算,所以,就分开单独来算} if temp>s then begin s:=temp;root[i,i+d]:=i+d+1; end; value[i,i+d]:=s; end; end; writeln(f2,value[1,n]:0:0);{输出最大加分} preorder(1,n);{输出最大加分二叉树的前序遍历序列} close(f2); end.
[点评]基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。
Ps:其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp题目,但它批上了树的外表,所以都拿来作对比和讨论,解题报告出自湖北省水果湖高中 伍先军写的第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛(N0IP2003)复赛提高组解题报告。
tips:不要害怕题目,实际上认真分析都很容易,虽说是treedp,但也没有用到树的存储结构。
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