bzoj 3994

设d(x)为x的约数个数，给定N,M，求

∑i=1N∑j=1Md(ij)

。

Input

输入文件包含多组测试数据。
第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来的T行，每行两个整数N,M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1≤N,M≤50000
1≤T≤50000

这题有个很屌的结论：

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

根据PoPoQQQ博客所说的，我们可以先证明这个式子的成立：

d(nm)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

我们可以证明一下：我们对每个质数p单独算贡献，设n=n′×pk1，m=m′×pk2。那么，该质数p对答案的贡献显然为k1+k2+1。于是我们考虑

d(nm)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

这个式子，发现p对之有贡献的数对(i,j)仍然是

(pk1,1),(pk1−1,1)⋯(1,1)⋯(1,pk2−1),(1,pk2)

这k1+k2+1个，因此得证。
代入得

∑n=1N∑m=1Md(nm)=∑n=1N∑m=1M∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]

我们转变枚举量，先枚举i,j就有

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

于是

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋[gcd(i,j)=1]

这个式子我们可以上反演了。
反演化为

∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋∑g∣ig∣jμ(g)

转而枚举g，于是就可得到

∑g=1Nμ(g)∑i=1⌊Ng⌋∑j=1⌊Mg⌋⌊Nig⌋⌊Mjg⌋

再化一下就可得到

∑g=1Nμ(g)∑i=1⌊Ng⌋⌊Nig⌋∑j=1⌊Mg⌋⌊Mjg⌋

又有

⌊Nab⌋=⌊⌊Na⌋b⌋

于是我们发现∑⌊Ng⌋i=1⌊Nig⌋只与⌊Ng⌋有关，我们可以O(nn−√)预处理

fx=∑i=1x⌊xi⌋

有了这个后再化简

∑g=1Nμ(g)f⌊Ng⌋f⌊Mg⌋

就可在O(n−√)分段求了。皆大欢喜。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>using namespace std;typedef long long ll;#define maxn (50010)int f[maxn],mu[maxn],prime[maxn],n,m,tot; bool exist[maxn];inline int calc(int x){    int ret = 0;    for (int i = 1,last;i <= x;i = last+1)    {        last = min(x,x/(x/i));        ret += (x/i)*(last-i+1);    }    return ret;}inline void ready(){    mu[1] = 1;    for (int i = 2;i <= 50000;++i)    {        if (!exist[i]) { prime[++tot] = i; mu[i] = -1; }        for (int j = 1;j <= tot&&prime[j]*i <= 50000;++j)        {            exist[i*prime[j]] = true;            if (i % prime[j] == 0) { mu[i*prime[j]] = 0; break; }            mu[i*prime[j]] = -mu[i];        }    }    for (int i = 1;i <= 50000;++i) mu[i] += mu[i-1],f[i] = calc(i);}inline ll work(){    if (n > m) swap(n,m);    ll ret = 0;    for (int i = 1,last;i <= n;i = last+1)    {        last = min(n,min(n/(n/i),m/(m/i)));        ret += (ll)(mu[last]-mu[i-1])*((ll)f[n/i]*f[m/i]);    }    return ret;}int main(){    freopen("3994.in","r",stdin);    freopen("3994.out","w",stdout);    ready();    int T; scanf("%d",&T);    while (T--) scanf("%d %d",&n,&m),printf("%lld\n",work());    fclose(stdin); fclose(stdout);    return 0;}