UVA12716 GCD XOR

Description

给出一个整数 N, 求有多少对 (A,B) 满足：gcd(A,B)=A⊕B 并且 1≤B≤A≤N。

Input

T(T≤10000) 组数据。每组数据 N≤3×107 。

Output

每组数据输出 Case X: answer 于一行。

Solve

设 C=gcd(A,B)，枚举 C，再枚举 A，这样枚举 O(nlog(n)) 次。每次要判断存不存在 B，使得 A⊕B=C。

首先可以想到的是 A⊕C=A⊕A⊕B=B。那么我们可以先计算出 B˙=A⊕C，再看是否有 1≤B˙≤A 并且 gcd(A,B˙)=C。

这样复杂度应该是 O(nlog(n)loglog(n))。但是还是嫌慢。
把满足条件的 A,B,C 输出之后，发现规律 C=A−B，证明略。
由此我们可以枚举 A,C 之后，计算出 B˙=A−C，如果 A⊕B˙=C 的话说明这就是一组解。

现在的复杂度是 O(nlog(n))。但是这样只能解决一组查询，题目的查询数目太多，这又应该怎么办呢？

我们用 cnt[n] 表示输入 n，时应有的结果。一开始 cnt[] 全是0，不妨每找到一组解就让 cnt[a]++。最后再执行 cnt[i] += cnt[i - 1] 就可以了。

此题时限 5s，通过用了 868ms。可以接受。

https://code.csdn.net/snippets/1583438/master/uva12716.cpp/raw