格子刷油漆

问题描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。


　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　　输出数据为一个正整数。

样例输入

2

样例输出

24

样例输入

3

样例输出

96

样例输入

22

样例输出

359635897

总的来说，情况就三种：（假如从左上点开始）
1.先把这一列刷完，再跑到第二列上去。这时就相当于又从头开始刷了。
2.刷了左上角这一个点之后，先跑到第二列上去刷，这时，本会有三种情况：
（1）在第二列上先刷一个，然后接着返回第一列，把第一列剩下的那个刷完，再回到第二列，把第二列空着的刷完。然后再刷第三列的时候，由于前边的都已经被刷满了，就相当于又从头开始刷了
（2）在第二列上先刷一个，然后又跳到第三列上刷。这样的话，不到最后一列是不能返回的，否则前边有空后边也有空，没办法按照题意不重复地刷完全部格子。所以这种情况就是把每一列都挑一个刷，刷到最尾列，再折回。也就是b[i] = 2 ^ i种（i表示列号），这里可以用递推把每一个b[i]都保存，即b[i] = b[i - 1] * 2。
（3）在第二列上刷满，这时，如果第二列不是末尾列，这种情况是不合理的，因为第一列有一个格子空着，第三列及以后的格子也空着，没办法把全部格子刷满；而如果第二列是尾列，这种情况就和（2）是一样的了。故这种情况舍去。
综上所述，可以列出递推式：
设b[i]表示（2）情况，即把所有的格子都刷完最后才返回第一列下方的那个格子的方法数，a[i]表示刷完i列格子总共的方法数。所以a就是以上所说的三种情况之和。
对应1情况：把第一列刷完了，来到第二列刷的时候可以选相邻，可以选对角，所以有2种方法，来到新位置以后就相当于重新开始了，即2 * a[i-1]；
对应（1）情况：第一二列是按照先刷对角，然后接着返回第一列下方格子，再回到第二列剩下格子的刷法来刷，画个图就发现，假如每次都从左上角开始刷，总共有2种画完这4个格子的方案，而每种方案对应着2种到达第三列的方案，故4 * a[i - 2]；
对应（2）情况：就是b[i]。
所以，a[i] = 2 * a[i - 1] + 4 * a[i - 2] + b[i]；
因为有4个角，所以从角出发总共有4 * a[n]种方案。
假如不从角出发，那么肯定不能先把这一列刷完再往两边刷，所以就是先刷一个，再先刷前边（有上下2个选择），最终回到起点下方这个格子，最后再不计终点地刷完后边的格子（开始有上下2个选择）；或者先刷后边，最终回到起点下方这个格子，最后再不计终点地刷完前边的格子。再因为开始选择的起点可以有上有下，故t = 2 * (2 * b[i - 1] * 2 * a[n - i]) + ( 2 * b[n - i] * 2 * a[i - 1])。（2 <=i < n，i即为初始选择的格子所在的列）

#include <stdio.h>#define mod 1000000007long long b[1003], a[1003], sum;int main(){int i, n;scanf("%d", &n); b[1] = 1;for(i = 2 ; i <= n; i++)    b[i] = b[i - 1] * 2 % mod;a[1] = 1;a[2] = 6;for(i = 3 ; i <= n ; i++){a[i] = (2 * a[i - 1] + b[i] + 4 * a[i - 2]) % mod;}sum = 4 * a[n] % mod;//printf("%lld\n", sum);for(i = 2 ; i < n; i++){sum = (sum + 8 * b[i - 1] * a[n - i] % mod + 8 * b[n - i] * a[i - 1] % mod) % mod;}printf("%lld\n", sum);return 0;}