nyoj 980 格子刷油漆

格子刷油漆

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难度：3

描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）

　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。

　　c e f d a b 是另一种合适的方案。

　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出

　　输出数据为一个正整数。

样例输入

2322

样例输出

2496359635897

说这道题目是一道dp题目。 不如说这是一道数学题目。

递推公式比较复杂


一共有两个递推数组：


首先设Dn表示从左边或者右边的某个角出发，然后走遍所有格子回到同一列有多少种方法。
明显D1=2,Dn=2*Dn-1
所以Dn=2^n


然后设An表示从某个角出发，走遍所有格子（不一定回到同一列）有多少种方法。
An=Dn+2*An-1+4*An-2
这个递推公式就用统计原理分析出来，分别对应三种不同的走法
Dn对应从这个角走到下一列，然后走遍所有格子回到下一列，再回到这列的走法
2*An-1表示直接走到这列的另一个角，然后再走其他的地方
4*An-2表示走对角线方法走遍前两列，然后走其他的地方


这样答案如果从四个角出发，总数就是4*An


然后分析从某一列开始，假设第i列(1<i<n)
则总数为2*(2*Di-1*An-i+2*Dn-i*Ai-1)
对i从2到n-1全部加和，得到这部分答案


两部分答案加起来，就是总数，经测试无误

#include <stdio.h>long long a[1001]= {0},b[1001]={0};const int NUM=1000000007;int main(){    int i,n;    while(~scanf("%d",&n))    {        b[1]=1;        for (i=2; i<=n; i++)            b[i]=(b[i-1]*2%NUM);        a[1]=1;        a[2]=6;        for (i=3; i<=n; i++)            a[i]=(2*a[i-1]+b[i]+4*a[i-2])%NUM;        long long sum=4*a[n];        for (i=2; i<n; i++)        {            sum+=((8*b[n-i]*a[i-1])%NUM+(8*a[n-i]*b[i-1])%NUM)%NUM;            sum %= NUM;        }        if(n==1)  sum=2 ;        printf("%lld\n",sum);    }    return 0;}