Floyd-Warshall算法+拓展详解+算法相关问题、
来源:互联网 发布:awesome mac 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 10:46
Floyd-Warshall算法+拓展详解
一、简单介绍一下Floyd算法
Floyd算法又称为插点法,是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
优点:
1、多源点、是一种动态规划算法,稠密图效果最佳,边权可正可负。
2、拓展应用范围广、好理解、代码简洁。
缺点:
1、效率比较低,时间复杂度高,虽然有简单优化的方法,但是N^3的效率真的是优化不到哪里去。
二、算法描述
源自百度百科:a) 初始化:D[u,v]=A[u,v]b) For k:=1 to nFor i:=1 to nFor j:=1 to nIf D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] ThenD[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];c) 算法结束:D即为所有点对的最短路径矩阵操作过程:1,从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。2,对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。把图用邻接矩阵G表示出来,如果从Vi到Vj有路可达,则G[i,j]=d,d表示该路的长度;否则G[i,j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息,D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点,初始化D[i,j]=j。把各个顶点插入图中,比较插点后的距离与原来的距离,G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] ),如果G[i,j]的值变小,则D[i,j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息,而在D中则包含了最短通路径的信息。比如,要寻找从V5到V1的路径。根据D,假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3,路径为{V5,V3,V1},如果D(5,3)=3,说明V5与V3直接相连,如果D(3,1)=1,说明V3与V1直接相连。代码实现:for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++) { for(int k=0;k<n;k++) { map[j][k]=min(map[j][k],map[j][i]+map[i][k]); } }}
三、算法拓展
floyd算法不仅仅规划于某一个领域的算法、学习floyd算法的核心不在于学习floyd的模板,而是学习该算法的核心思想、其实这个算法也比较容易理解,其实就是一句话,如果能够通过一个点i,改变从u到v的权值。那么我们也可以拓展它的应用,举一个很简单的例子,如果j认识i,并且i认识k,那么我们就可以通过i,使得j,k相识。我们也可以再举一个例子,如果j比i官大,i比k官大,那么j就比k官大。floyd算法的应用拓展是一时两语说不完的,更多的拓展还是大家通过平时的积累,和对这个算法的理解来慢慢感悟。希望大家能够慢慢喜欢上这个算法。
a) 初始化:D[u,v]=A[u,v]
b) For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];
c) 算法结束:D即为所有点对的最短路径矩阵
操作过程:
1,从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。
2,对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。
把图用邻接矩阵G表示出来,如果从Vi到Vj有路可达,则G[i,j]=d,d表示该路的长度;否则G[i,j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息,D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点,初始化D[i,j]=j。把各个顶点插入图中,比较插点后的距离与原来的距离,G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] ),如果G[i,j]的值变小,则D[i,j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息,而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如,要寻找从V5到V1的路径。根据D,假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3,路径为{V5,V3,V1},如果D(5,3)=3,说明V5与V3直接相连,如果D(3,1)=1,说明V3与V1直接相连。
代码实现:
for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++) { for(int k=0;k<n;k++) { map[j][k]=min(map[j][k],map[j][i]+map[i][k]); } }}
三、算法拓展
四、对应训练
入门:(如果我的博客里边有题解,后边会跟有题解链接)
hdu 2066 一个人的旅行 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50218877
hdu 2544 最短路
hdu 1874 畅通工程续
带有难度:
hrbust 哈理工oj 1802 map+floyd http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50510257
hdu 1869 六度分离http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50350678
hdu 3665 seaside http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50285421
拓展:
hdu 5326 work 一道并查集的题、floyd算法思维也可以解 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50570864
hrbust 哈理工oj 1352 中间的球 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50707987
hrbust 2025 确定大小 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50725554
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