【趣味数学】不使用第三个变量交换两变量的值（推理过程）

问题：怎么不使用第三个变量交换两个变量的值呢？

解决方案1——数学计算：

1、猜想：

用脚丫想到，似乎加减乘除就能做到这件事吧。然后想一下，如果用乘法很容易爆Int，而且都乘大了，减回来明显不靠谱，除回来除什么？有余数怎么办？也不靠谱。于是基本策略就是只用加减法，那么不妨试一下（a+b）和（a-b）之类的运算，来找一找规律。

2、推理：

于是我在纸上写下了：

a = a + b

很明显我发现这是程序语言的写法，左边 a 和右边 a 不好区分，不易推理，于是改成了：

a1 = a0 + b0

a0 和 b0 表示 a 和 b 的初始值，当推理到某一步时若发现：an = b0， bm = a0，则说明交换成功。但切记推理过程中一定要记得这样一点：同字母的变量会被新的赋值覆盖，或者说同字母的变量里只有最新的是有效的。那么接下来不难想到：

 b1 = a1 - b0 = a0

那么很明显最后一步：

a2 = a1 - b1 = b0

证毕。

3、实现代码：

<span style="font-family:Microsoft YaHei;">void mySwap_1(int &a, int &b){    a = a + b;    b = a - b;    a = a - b;}</span>

解决方案2——位运算：

1、猜想：

每个数字都可以表达成 2 进制，即用一串 0、1 表示，那么可不可以通过交换两个数字的 0、1 值来实现交换两个数的值呢？

2、推理：

两个数字放在一起，比较它们的二进制各位中的某一位，无非有四种情况：都是0、都是1、1和0、0和1（后两者其实一样，此处为方便考虑）。不妨举出一个四者皆有的例子，来方便我们思考：

a = 1 0 1 0

b = 1 0 0 1

好的，写在纸上很明显，我们一眼就能发现：若想交换 a、b 的值，则相同位不用变，不同位与自己原来取反即可。同时这个例子列举全了四种情况，例子成功了算法就成功了。接下来，“相不相同、不变、反转”，说到这些想到了什么，没错，就是异或！因为异或运算有这样的特征：

① 相同得 0，不同得 1，可以告诉我们哪些位相同哪些位不同。

② 不管 0 还是 1，与 0 异或都不变

③ 不管 0 还是 1，与 1 异或都反转

那么我们异或一下试试吧：

a1 = a0 ^ b0 = 0 0 1 1

好的，a1 中的 0 表示二者相同，1 表示二者不同。那么 b 直接与 a1 异或，就可以做到相同位不变，不同位取反了：

b1 = b0 ^ a1 = b0 ^ a0 ^ b0 = a0

接下来：

a2 = b1 ^ a1 = a0 ^ a0 ^ b0 = b0

3、实现代码：

void mySwap_2(int &a, int &b){    a = a ^ b;    b = b ^ a;    a = b ^ a;}

PS：太久没写C++，使用引用作为函数参数这件事我都忘差不多了。。引用是啥都说不清了，对引用进行操作就像对原变量进行操作是一样的。好吧，我会找时间写一篇博客专门深入研究一下。