高等数学：第一章 函数与极限（3）无穷小 连续性 间断点 连续函数

§1.8  无穷小的比较

两个无穷小的乘积仍是无穷小，而两个无穷小之商却有如下几种情况：

例如：当时，、、都是无穷小，但是

，，

两个无穷小之比的极限的各种不同情况， 反映出不同无穷小趋向于零时，在“快慢”上是有区别的。

由上述极限，我们粗略地感觉到：较趋向于零更快，而与趋向于零时，在快慢上大体相当。

一、定义

下面的及都是同一个自变量的变化过程中的无穷小， 而也是在这个变化过程中的极限。

如果，就说是比高阶的无穷小，记作；

如果，就说是比低阶的无穷小；

如果，就说是与同阶的无穷小；

如果，就说与是等价无穷小，记作。

据此定义，当时，是比高阶的无穷小，

而与是同阶的无穷小，

由极限，与是等价无穷小。

二、等价无穷小的一个重要性质

证明：

这一性质表明， 求两个无穷小之比的极限，分子及分母都可用等价无穷小来代替，从而达到简化极限的计算之目的。

【例1】求         

解：当时， ，  所以

【例2】求 

解：令 ， 则  ， 且 

于是我们有：    当  时

上述两例使我们看到了等价无穷小代换在求极限时的“威力”，但是，运用这一方法时应该注意以下两点：

【例3】求 

解：原式= 

=  = 

注：

如果用等价无穷小代换， 就会得出错误的结论。

， 原式= == 

为了使同学们对这一例子有更深的了解，我们利用计算机程序gs0105.m，可给出函数在区间（0.001, 1）上的图象。

由图象不难看出，在0附近，函数值接近于0.5,而不是0呀！

【例4】求 

解： 令 ， 则 ，且

原式= =

= 

= 

= 

注：

§1.9  函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1、增量

设变量从它的初值变到终值，终值与初值的差 ，称为变量的增量，记为，即：。

注意：

(1)、增量可正亦可负(不要由于名称中的“增”字，而认为)。

(2)、应视为一个整体记号。

假设函数在点的某一个邻域内有定义，当自变量在邻域内从变到时， 函数相应的从变到， 我们将差值

称之为函数在点处的增量。

函数增量的几何意义如下：

2、函数的连续性

所谓函数在点处连续是指：

或     

其严格定义如下：

【定义1】

设在点的某一邻域内有定义，如果当自变量增量趋向于零时， 对应的函数增量也趋向于零， 则称函数在点处连续。

令 ，则 

可见：(1)式等价于    

因此，函数的连续性定义可以改成下述新的形式。

【定义2】

设在点的某一邻域内有定义， 如果函数当时的极限存在且等于它在该点的函数值， 即

则称函数在点处连续。

关于函数的连续性，还有几个相应的概念。

1、如果，称函数在处左连续。

2、如果，称函数在处右连续。

3、如果函数在区间上每一点均连续， 称函数在区间上连续;

若包括端点，那么函数在右端点的连续性是指左连续，而在左端点的连续性是指右连续。

连续函数的图象是一条连绵不间断的曲线。这是因为，如果函数的图象上出现了“空洞”、“断裂”，那么函数在该点处一定不连续。请看示例图。

在处，图例一的， 显然， ， 函数在处间断，曲线上的一个空洞。

在处，图例二的增量为

显然，。曲线在处有一段阶梯。

3、证明函数极限的方法

证明函数在点连续，等价于证明下述极限

若要证明函数在区间上连续，只需对上任意一点证明(1)或(2)成立。

在§6(极限运算法则)中，我们业已证明了结论：

(1)、如果是多项式函数，  有 ，这表明多项式函数在 内连续;

(2)、如果是有理分式函数， ，只要 ，有， 这表明有理分式函数在其定义域内连续。

【例1】证明函数在  内连续。

证明：

则有   

故有   ，据函数在点连续的定义在连续，又由于是上的任意一点，因此，函数在区间上连续。

【例2】证明函数在上连续。

证明：

，当有增量时，对应的函数增量为

因 

故 

据两边夹法则，当时，，进而，

这便证明了函数对于任何是连续的，继而证明了函数在区间上的连续性。

类似地，同学们可以仿此方法证明在上的连续性。

二、函数的间断点

1、间断点的定义

所谓函数在处间断，粗略地讲，意指函数在处不连续。

那么函数在一点不连续的“正面涵义”又是什么呢? 我们仅需要将函数在处连续的定义中的各个条款一一地加以否定即可。

设在的某个邻域内有定义，但除外(即：函数在处可以有定义，也可以无定义)，如果有下列三种情形中之一：

(1)、在处没有定义；

(2)、虽在有定义， 但不存在；

(3)、虽在有定义， 且存在，但 

则称在处不连续，点是函数的间断点。

2、典型实例

【例3】在间断，它是振荡间断点。

运行程序gs0106.m,可作出此函数在[-1,1]上的图象。

【例4】在间断，它是无穷间断点。

【例5】在间断，它是可去间断点。

【例6】在间断，它是跳跃间断点。

3、间断点的分类

以函数的左极限、右极限是否均存在， 将间断点分为两类。

设是函数的间断点，若

(1)、均存在，则称为函数的第一类间断点；

(2)、中至少有一个不存在，则称为函数的第二类间断点。

§1.10  连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：

【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。

【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。

【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

例如：我们已知函数，在上连续，据上述定理，， 在 上也是连续的；而正切与余切函数，则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。

二、反函数与复合函数的连续性

【定理四】

如果函数在区间上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数也在区间上单值，单增（或单减）且连续。

这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：

直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续

要特别加以注意。

其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。

另外，区间实际上是直接函数的值域。

下面， 我们来讨论反三角函数的连续性问题。

在上单值、单增、连续，其值域为。反函数 在上亦单值、单增、连续。

由于函数只与对应法则和定义域有关， 而与自变量的选取与关。通常，我们也用来记的反函数。

的反函数在上亦是单值、单减、连续。

的反函数则在上单值、单增、连续。

三、复合函数的连续性定理

【定理五】

设函数当时的极限存在且等于，即

而函数在点连续， 则复合函数当时的极限存在且等于， 即

                 (1)

证明：

因在连续，则 。

，，当  时，

又 ，对于上述，，当时，有

综合上述两个步骤有：

，，当  时，有

进而有：

故 

2、（1）式还可写成形式            (3)

表明：求函数极限，可使用变量代换。

将自变量变化趋势，换成新变量变化趋势，

将转化为（其中  ）。

3、定理5中的变量变化趋势可换成 ， 其结论仍旧成立。

【定理六】

设函数在连续，且；而函数在点处亦连续，那么复合函数在处连续。

【证明】：只要在定理5中，令即：在  连续。

于是，(1)式可表示成：

这便证明了函数  在点处连续。

【例1】求（其中为正整数）

解：

这里：我们用到了在处的连续，而在

时极限存在，且为。

注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。

【例2】求 

解：

注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。

三、初等函数的连续性

前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：

1、指数函数在内连续。

2、对数函数在内连续。

3、幂函数在其定义域(定义域要据的取值而定)内连续。

总之，基本初等函数在其定义域内连续。

由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。

最后指出：如果函数在点连续，那么求极限，只需计算即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。

【例3】求

解：是初等函数，在它的定义域内是连续的，而点，据基本结论有：

§1.11  闭区间上连续函数的性质

如果函数在开区间内连续，在右端点左连续，在左端点右连续，那未函数就在闭区间上连续。

一、最大值与最小值定理

先介绍最大值与最小值概念：

对于区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有     

则称是函数在区间上的最大值(最小值)。

【定理一】(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

这一定理在几何上是十分显然的。

设想有一条有弹性的弦，两个端点固定，呈水平地放置在坐标系中；若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用，则产生形变，成为一条有高低起伏的曲线。

显然，C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

最值存在定理中的两个条件：(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可，否则结论不成立。

根据定理一，下面的定理二，几乎是一望便知的事实。

【定理二】( 有界性定理 )

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理，先引入一个概念：

如果使， 则称 为函数的一个零点。

事实上，也可以看成函数方程  的一个根。

【定理三】( 零点定理 )

设在闭区间上连续，且与异号(即)， 则在开区间内至少有函数的一个零点，即存在点，使

零点定理的几何意义十分显然， 它表明：

若连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧，则曲线弧与轴至少有一个交点。

利用这一思想，可用计算机作图来观察方程是否有实数根，有几个实根；若有实根，其实根所处的大致位置。

下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是：将函数与直线作在同一个图上，观察它们是否相交。

【例1】判断方程  在是否有根?

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-2，2]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-2:0.0005:2;

y=x.^2+x-1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-2,2],[0,0],'r')

plot([0,0],[-2,5],'r')

【例2】判断方程  有几个实数根。

解：利用MATLAB，作函数的图形

从图形上可看出，函数在[-1，1]之间确有两个零点。其作图程序如下：

x=-4:0.0005:4;

y=exp(-x.^2)-0.5;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-4,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')

【定理4】( 介值定理 )

设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

 及 

那末，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，

使得       

这定理的几何意义是：

连续曲线弧与水平直线至少相交于一点。

证明：设， 则在闭区间上连续，且

 与 

异号。据零点定理，开区间内至少有一点使得

但，因此由上式即得

【推论】

闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

【例3】给定一元三次方程  

1、说明该方程在内至少有一个根；

2、利用计算机作图，说明该方程根的大致位置；

3、用计算方法中的“两分法”求此根近似值(精确到小数点后2位)。

解：函数  在闭区间  上连续，又

，      

根据零点定理，在(0，1)内至少有一点，使得    

即     

故方程在区间(0，1)内至少有一个根。

下面作出函数在上的图象。

x=-1:0.0005:4;

y=x.^3-4*x.^2+1;

plot(x,y,'*')

hold

plot([-1,4],[0,0],'r')

plot([0,0],[-10,2],'r')

从图象可看出，函数在(0，1)间有一个零点，大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。

利用零点定理的原理，采用下面介绍的两分法来解决这一问题。

注1：课堂上的两分法演示(做四次 )

具体做法：

1、建立一个函数文件f.m，存放在盘符X：\matlab\bin下

function   y=f(x)

y=x^3-4*x^2+1;

2、在命令窗口下键入命令示意图

注2：真正的两分法程序为gs0107.m

注3：利用matlab内部函数，可以直接求出根

c=[1，-4，0，1]

roots(c)

输出结果为：3.9354     0.5374   -0.4728

【例4】试证明有且只有一个实根。

证明：设，它是在上连续的初等函数。

而  

同理  

利用函数的保号性：

必存在两个充分大的正数

使得  

在闭区间  上利用零点定理，至少存在一点，使得

即：方程至少有一个实根。

(下面来证明，函数的零点是唯一的)

假设函数存在两个互异的零点，则有

于是有

而，故    

另一方面

产生矛盾。

故：只有唯一零点，方程 只有唯一实根。

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}