[高等数学]函数与极限(2)—极限

数列的极限

数列极限的定义

1. 设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn−a|<ϵ都成立，那么久称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为limn→∞xn=a，或xn→a（n→∞）
2. 如果不存在这样的常数a，就说数列{xn}没有极限，或者说数列{xn}是发散的，习惯上也说limn→∞xn不存在

收敛数列的性质

1. 极限的唯一性：
   
   1. 如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。如数列xn=(−1)n+1(n=1,2,...,)是发散的
   2. 如果存在正数M，使得数列{xn}中一切{xn}都满足不等式|xn|≤M，则称数列{xn}是有界的。如果不存在这样的M，则数列{xn}无界
2. 收敛数列的有界性：
   
   1. 如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界
   2. 如果数列无界，那么数列一定发散；但若数列有界，却不一定收敛，如数列1,−1,1,...,(−1)n+1,...
3. 收敛数列的保号性：
   
   1. 如果limn→∞xn=a，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)
   2. 如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0），且limn→∞xn=a，那么a≥0(或a≤0)
4. 收敛数列与其子数列间的关系：
   
   1. 如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a
   2. 如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的

函数的极限

函数极限的定义

1. 函数极限的定义：
   
   1. 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限
2. 自变量趋于有限值时函数的极限：
   
   1. 如果在x→x0的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限（前提是函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义）
   2. 邻域半径δ体现了x接近x0的程度
   3. 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0f(x)=A或f(x)→A（当x→x0）
   4. 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件时左极限及又极限各自存在并且相等，即f(x−0)=f(x+0)
3. 自变量趋于无穷大时函数的极限：
   
   1. 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ϵ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(当x→∞)

函数极限的性质

1. 函数极限的唯一性：如果limx→x0f(x)存在，那么这极限唯一
2. 函数极限的局部有界性：如果limx→x0f(x)=A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x−x0|<δ时，有|f(x)|≤M
3. 函数极限的局部保号性：如果limx→x0f(x)=A，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0，使得当0<|x−x0|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）
4. 如果limx→x0f(x)=A(A≠0)，那么就存在着x0的某一去心邻域U˚(x0)，当x∈U˚(x0)时，就有|f(x)|>|A|2
5. 函数极限与数列极限的关系：如果极限limx→x0f(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limn→∞f(x)

无穷小与无穷大

无穷小

1. 如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小
2. 在自变量的统一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件时f(x)=A+a，其中a是无穷小

无穷大

1. 设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x−x0|<δ（或|x|>M），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大
2. 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大

极限运算法则

1. 有限个无穷小的和也是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
3. 常数与无穷小的乘积是无穷小
4. 有限个无穷小的乘积也是无穷小
5. 如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么：
   
   1. lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B
   2. lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B
   3. 若又有B≠0 ，则limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB
6. 如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=climf(x)。即在求极限时，常数因子可以提取到极限记号外面。因为limc=c
7. 如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n
8. 设有数列{xn}和{yn}，如果limn→∞xn=A，limn→∞yn=B，那么：
   
   1. limn→∞(xn±yn)=A±B
   2. limn→∞xn⋅yn=A⋅B
   3. 当yn≠0(n=1,2,...)且B≠0时，limn→∞xnyn=AB
9. 如果φ(x)≥ψ(x)，而limφ(x)=a，limψ(x)=b，那么a≥b
10. 复合函数的极限运算法则：设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若limx→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U˚(x0,δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A

极限存在法则 两个重要极限

1. 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件：
   
   1. 从某项起，及∃n0∈N，当n>n0时，有：yn≤xn≤zn，
   2. limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，那么数列{xn}的极限存在，且limn→∞xn=a
2. 如果：
   
   1. 当x∈U˚(x0,r)(或|x|>M)时，g(x)≤f(x)≤h(x)，
   2. limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A，
   3. 那么limx→x0(x→∞)f(x)存在，且等于A
3. 单调有界数列必有极限：
   
   1. 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列
   2. 如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛
4. limx→∞(1+1x)x=e
5. 设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限f(x−0)必定存在
6. 柯西极限存在准则：数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ϵ，存在着这样的正整数N，使得当m>N，n>N时，就有|xn−xm|<ϵ

无穷小的比较

1. 如果limβα=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)；
2. 如果limβα=∞，就说β是比α低阶的无穷小；
3. 如果limβα=c≠0，就说β与α时同阶无穷小；
4. 如果limβαk=c≠0，k>0，就说β是关于α的k阶无穷小；
5. 如果limβα=1，就说β是α高阶的无穷小，记作α ~ β