高等数学：第一章 函数与极限（2）无穷大 无穷小 极限准则

§1.5  无穷小与无穷大

一、无穷小

1、无穷小的描述性定义

如果函数当(或) 时的极限为零，那么，称函数为(或) 时的无穷小。

2、无穷小的精确定义

，（或），当(或)时，有

成立，则称函数为当（或）时的无穷小，记作

无穷小并不是一个全新的概念，仅仅是在自变量的变化过程中，函数以零为极限。只是由于这类极限在高等数学中具有其特殊的地位，我们宁愿赋予它这一术语。

3、函数极限与无穷小的关系

【定理】

在自变量的同一变化过程 (或  )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;

反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。

【证明】设， 依函数极限的定义有:

令 ， 则 是 时的无穷小，且

即等于它的极限  与一个无穷小  之和。

反过来，

设 ， 其中  是常数， 是 时的无穷小。

因 是时的无穷小， 依无穷小的定义有:

从而有      。

即  是当  时的极限。

( 类似地可证明 时的情形 )

二、无穷大

1、无穷大的描述性定义

如果函数当(或)时，其绝对值无限地增大，那么称函数为 (或) 时的无穷大。

2、无穷大的精确化定义

，（或 ），当 （或）时，有

成立，则称函数为当 （或 ）时的无穷大。

无穷大是一个全新的概念，对它的理解应注意如下几点:

(1)、据函数极限定义，若函数当(或)时为无穷大，那么函数的极限实际上是不存在的。但是为了描述函数的这一特别有用的性态，我们宁愿称函数的极限是无穷大，并记作

(2)、若将定义中换成，就记作

或

3、无穷小与无穷大的关系

【定理】

在自变量的同一变化过程（或  ）中，如果为无穷大，则为无穷小；

反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。

这一定理所陈述的事实是显然的， 证明从略。

【例】试证明: 

证明：，欲使，只需 ，

可取，当 时，有

 

成立，故。

这一极限具有十分显著的几何特征，它表明:

直线是曲线的一条铅直渐近线。

用matlab作出该函数在区间[0，1]上的图形（事实上是[0，0.995]）上的图形，可以清楚地看出这一点。

不难将这一事实推广到一般

若，则直线  是曲线 的一条铅直渐近线。

§1.6  极限运算法则

极限语言只能证明极限，不能求极限。对于简单函数的极限问题，可以先用观察法看出其极限，再用极限语言加以证明，但对于一些形式复杂的函数，就不太容易观察出它的极限。

因此，研究函数极限的运算法则，便十分的必要。

【声明】

1、在下面的讨论中，只给出函数极限的运算法则，这些法则可相应地移植到数列极限。

2、在下面的讨论中，若下面未标明自变量的变化趋势，表明对及均成立的。

【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。

【证明】考虑两个无穷小之和的情形。

设 及  均是当 时无穷小， 而 。

依无穷小的定义， 有:

只要取，有

这表明 是当  时的无穷小。

必须指出:  无限个无穷小之和不一定是无穷小。

【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界

设  是当 时的无穷小。

下面证明  是  时的无穷小

依函数有界的定义，有:

依无穷小的定义， 有:

取  ， 从而

这表明， 是  时的无穷小。

【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。

【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。

有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?

表面上，这一问题的答案是显然的，即:是无穷小。 其实却不然，因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。

【定理三】(极限运算的分配律)

若 ，，则 存在，且

。

【证明】因 ， ， 由极限存在与无穷小的关系定理有:

     (  是无穷小 )

于是      

由定理1，是无穷小;

由定理2的推论1， 是无穷小，

再由定理1，是无穷小;

总之，是无穷小。

利用极限与无穷小的关系有

高等数学中还有许多类似的性质，为此，我们对这一性质专门给出几点注解。

(1)、和均存在，则 存在。

(2)、若存在，不存在，则不存在。

【反证法】记 ， 假设  存在

而   或  

由于  与  均存在，据【定理三】有:

 亦存在。 这与条件产生矛盾，故 不存在。

(3)、 与  均不存在， 则 可能存在， 也可能不存在。

【反例】设  ， ，显然， 与均不存在

但是                    存在，

而                        不存在

【定理四】

若，，则  存在，且

。

定理四也有与定理三完全相同的四点注解，它还有两个重要的推论。

【推论一】

若存在，为常数， 则 。

【推论二】

若 存在，为正整数，则。

【定理五】

若，，且，则 存在，且

对商的极限运算法则， 应注意条件:

(1)、极限  均存在。

(2)、作分母的函数  的极限 。

当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。

【定理六】

如果 ， 而  、， 则 。

【证明】 作函数 ， 且 。

由极限的保号性有:         ， 即

故   。

必须指出：即使不等式  严格成立， 结论仍然是，不可以认为是 。

例如：、表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而表示圆的面积。

显然， ，但 。

运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。

首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:

设  是任意实数，则 

【例1】

此极限可作一般性的推广：

【例2】    

可对此例作一般性的推广:

设  是有理分式函数， 与 为的多项式，若 ， 则。

【证明】由定理5与例1， 有

【例3】 求  

【例4】  

对于有理分式函数，当时，不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：

§1.7  极限存在准则、两个重要极限

一、两边夹准则

如果数列、及满足下列条件：

(1)、

(2)、

那末数列的极限存在，且。

【证明】因 ，据数列极限定义，有

 ；

 对于上述， ，故可取

则当  时，有 ， 同时成立，亦即：

从而有     

亦即             成立

这就是说， 

准则一还可推广到函数极限的情况：

如果函数，及满足下列条件：

（1）、（且  ），（或 ）时，有

成立；

（2）、

那么， 存在，且等于  。

二、重要极限之一 

 证明： 记  ， 由于 ， 我们不妨只究 这一情形加以证明，如下图所示：

从几何图形上可清楚地看出：

于是有两边夹的不等式     

而  事实上， 当 ， 有：

据两边夹准则， 我们有： 

而  是偶函数， 故 

由函数的左右极限的性质知， 

下面， 我们给出当从1开始，以 为步长减少而趋近于时， 的图象的动画演示。

【例1】用两边夹法则证明：半径为的圆面积为。

正多边形的面积公式为 ，是正多边形的周长，是边心距。

如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积，n表示正多边形的边数。

显然有：，而

我们可得到圆的面积公式

至此，利用两边夹法则与１极限，用刘徽割圆术推导出了面圆积公式。借助计算机程序gs0103.m，可给出内外接正多边形夹逼圆面积的数值试验。

 

【例2】试证明：圆的周长与圆的直径之比为常数。

我们知道， 时，(圆的周长), ，故

三、单调有界准则

单调有界数列必有极限。

这一准则在几何上是非常显然的。例如：设数列单调增加且有上界A。在数轴上将数列的各项画出来， 它们严格地依次从左向右延伸， 且前方有点 A 挡住去路， 因此，这些点必在某点处产生“凝聚”，即：数列  收敛。

四、重要极限之二  

记  利用二项展开式， 我们有：

这表明数列  有界， 它位于(0，3)之间。

另一方面， 仿上面的形式， 不难写出：

这说明，数列是单调增加的。

据准则二， 存在，记作： 。

由的展开式有：，因此， 常数。

由   有

运行matlab程序gs0104.m，可得出时，对应的数列项的近似值。

极限还可推广到更一般的情形：

利用变量替换  ，则 ，原极限可变成一种新的形式：          

【例3】求 

解： ， 令 ， 而 ，

且         

原式 = 

【例4】求极限 

解： 令  ， 

通过四个例子，可总结出如下求极限技巧。

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/